2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Преобразование Фурье, Принцип неопределённости
Сообщение02.04.2025, 22:38 


10/11/11
83
$$\varphi(t)=\int e^{itx}f(x)dx;\quad\quad\quad 
f(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\varphi(t)dt;$$
проверим согласованность
$$f(x)=e^{-ikx}\quad\leftrightarrow\quad \varphi(t)=2\pi\delta(t-k)$$
$$f(x)=\delta(x-m)\quad\leftrightarrow\quad \varphi(t)=e^{imt} \qquad \Rightarrow \int e^{ikt}dt=2\pi\delta(k)$$
$$g\leftrightarrow\psi\quad h\leftrightarrow\chi\quad \Rightarrow \quad2\pi\langle g|h\rangle=\langle \psi|\chi\rangle$$
возьмём локализованную волну (существуют конечные "матожидание" и "дисперсия", плотность вероятности (ненормированная) $=|f(x)|^2$)
$$E:=2\pi\int |f(x)|^2dx=\int|\varphi(t)|^2dt$$
$$x_0:=\int x|f(x)|^2dx; \qquad t_0:=\int t|\varphi(t)|^2dt$$
$$g(x):=(x-x_0)f(x) \quad\leftrightarrow\quad  \psi(t)=\int e^{itx}(x-x_0)f(x)dx$$
$$h(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}(t-t_0)\varphi(t)dt \quad\leftrightarrow\quad  \chi(t):=(t-t_0)\varphi(x)   $$
$$2\pi D_x=2\pi\|g\|^2=2\pi\int(x-x_0)^2|f(x)|^2dx; \qquad D_t=\|\chi\|^2=\int (t-t_0)^2|\varphi(t)|^2dt$$
Коши-Буняковский-Шварц-Риман:
$$2\pi D_xD_t=2\pi\|g\|^2\|\chi\|^2\ge|\langle\chi|\psi\rangle|^2$$
$$\psi(t)=-i\frac{d\varphi(t)}{dt}-x_0\varphi(t)$$
Помогите посчитать следующий интеграл:
$$\langle\chi|\psi\rangle = \int\left(-i\frac{d\varphi(t)}{dt}-x_0\varphi(t)\right)(t-t_0)\varphi^*(t)dt$$
$$1-1)\qquad-i\int\frac{d\varphi(t)}{dt}t\varphi^*(t)dt=:-iI$$
$$I=\int t\varphi^*(t)d(\varphi(t)) = 
t|\varphi(t)|^2\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int|\varphi(t)|^2dt - \int t \varphi(t)d(\varphi^*(t)) = 
0-E-I^*$$
$$-i\operatorname{Re}I=
\frac{iE}{2}$$
$$1-2)\qquad -it_0\operatorname{Re}\left(\int\frac{d\varphi(t)}{dt}\varphi^*(t)dt\right)=
-it_0\frac{|\varphi(t)|^2}{2}\bigg|_{-\infty}^{+\infty}=0$$
$$2-1)\qquad -x_0\int\varphi(t)t\varphi^*(t)dt=-x_0t_0$$
$$2-2)\qquad x_0t_0\int\varphi(t)\varphi^*(t)dt=x_0t_0E$$
Должно получиться $$\langle\chi|\psi\rangle = \operatorname{const} E$$
а получается что-то совсем другое

 Профиль  
                  
 
 Re: Преобразование Фурье, Принцип неопределённости
Сообщение03.04.2025, 02:37 


10/11/11
83
Решил проверить раздел на википедии
и вот получается добавка $x_0t_0(E-1)$. Ну можно конечно сказать, что пусть исходная функция будет нормирована на единицу, но википедия говорит, что это не обязательно
Цитата:
$\Delta x\Delta t = 4\sqrt{D_xD_t}\ge \frac{E}{\pi}$

Ну и кроме того у меня получается получить результат только для действительнозначной $\varphi$, хотелось бы в общем случае

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 2 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group