Преобразование Фурье, Принцип неопределённости

[FeelUs]

$$\varphi(t)=\int e^{itx}f(x)dx;\quad\quad\quad f(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}\varphi(t)dt;$$

проверим согласованность

$$f(x)=e^{-ikx}\quad\leftrightarrow\quad \varphi(t)=2\pi\delta(t-k)$$

$$f(x)=\delta(x-m)\quad\leftrightarrow\quad \varphi(t)=e^{imt} \qquad \Rightarrow \int e^{ikt}dt=2\pi\delta(k)$$

$$g\leftrightarrow\psi\quad h\leftrightarrow\chi\quad \Rightarrow \quad2\pi\langle g|h\rangle=\langle \psi|\chi\rangle$$

возьмём локализованную волну (существуют конечные "матожидание" и "дисперсия", плотность вероятности (ненормированная) $=|f(x)|^2$)

$$E:=2\pi\int |f(x)|^2dx=\int|\varphi(t)|^2dt$$

$$x_0:=\int x|f(x)|^2dx; \qquad t_0:=\int t|\varphi(t)|^2dt$$

$$g(x):=(x-x_0)f(x) \quad\leftrightarrow\quad \psi(t)=\int e^{itx}(x-x_0)f(x)dx$$

$$h(x)=\frac{1}{2\pi}\int e^{-itx}(t-t_0)\varphi(t)dt \quad\leftrightarrow\quad \chi(t):=(t-t_0)\varphi(x) $$

$$2\pi D_x=2\pi\|g\|^2=2\pi\int(x-x_0)^2|f(x)|^2dx; \qquad D_t=\|\chi\|^2=\int (t-t_0)^2|\varphi(t)|^2dt$$

Коши-Буняковский-Шварц-Риман:

$$2\pi D_xD_t=2\pi\|g\|^2\|\chi\|^2\ge|\langle\chi|\psi\rangle|^2$$

$$\psi(t)=-i\frac{d\varphi(t)}{dt}-x_0\varphi(t)$$

Помогите посчитать следующий интеграл:

$$\langle\chi|\psi\rangle = \int\left(-i\frac{d\varphi(t)}{dt}-x_0\varphi(t)\right)(t-t_0)\varphi^*(t)dt$$

$$1-1)\qquad-i\int\frac{d\varphi(t)}{dt}t\varphi^*(t)dt=:-iI$$

$$I=\int t\varphi^*(t)d(\varphi(t)) = t|\varphi(t)|^2\Bigg|_{-\infty}^{+\infty} - \int|\varphi(t)|^2dt - \int t \varphi(t)d(\varphi^*(t)) = 0-E-I^*$$

$$-i\operatorname{Re}I= \frac{iE}{2}$$

$$1-2)\qquad -it_0\operatorname{Re}\left(\int\frac{d\varphi(t)}{dt}\varphi^*(t)dt\right)= -it_0\frac{|\varphi(t)|^2}{2}\bigg|_{-\infty}^{+\infty}=0$$

$$2-1)\qquad -x_0\int\varphi(t)t\varphi^*(t)dt=-x_0t_0$$

$$2-2)\qquad x_0t_0\int\varphi(t)\varphi^*(t)dt=x_0t_0E$$

Должно получиться

$$\langle\chi|\psi\rangle = \operatorname{const} E$$

а получается что-то совсем другое

[FeelUs]

Решил проверить раздел на википедии
и вот получается добавка $x_0t_0(E-1)$. Ну можно конечно сказать, что пусть исходная функция будет нормирована на единицу, но википедия говорит, что это не обязательно

Цитата:

$\Delta x\Delta t = 4\sqrt{D_xD_t}\ge \frac{E}{\pi}$

Ну и кроме того у меня получается получить результат только для действительнозначной $\varphi$, хотелось бы в общем случае

[FeelUs]

Ага, на википедии говорят $F_0=0$ ($x_0=0$ в моей нотации)