2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Строки и столбцы чисел Стирлинга независимо
Сообщение02.04.2025, 09:55 
Аватара пользователя


22/11/13
550
Недавно по счастливой случайности обнаружил две пары рекурсивных тождеств для чисел Стирлинга, которые позволяют вычислять $n$-ую строку неависимо от всех остальных строк и $k$-ый столбец независимо от всех остальных столбцов.

Я предполагаю, что при $1 \leqslant k < n$ будем иметь
$$
{n \brack k} = \frac{1}{n-k} \sum\limits_{j=2}^{n-k+1} \binom{-k}{j}{n \brack k+j-1}(-1)^j, \\
{n \brack k} = \frac{1}{n-k} \sum\limits_{j=2}^{n-k+1} (j-2)!\binom{n}{j}{n-j+1 \brack k}.
$$
После взаимозамены $(-1)^j$ и $(j-2)!$, я также предполагаю, что при $1 \leqslant k < n$ будем иметь
$$
{n \brace k} = \frac{1}{n-k} \sum\limits_{j=2}^{n-k+1} (j-2)!\binom{-k}{j}{n \brace k+j-1}, \\
{n \brace k} = \frac{1}{n-k} \sum\limits_{j=2}^{n-k+1} \binom{n}{j}{n-j+1 \brace k}(-1)^j.
$$
При некоторых $n$ и $k$ алгоритм, при котором мы заполняем числа Стирлинга в элементы массива (чтобы не вызывать их повторно для каждой новой суммы), домножая их на каждом следующем шаге на соотношение биномиальных коэффициентов (а также в двух из четырех случаев на соотношение факториалов), дает значительный выигрыш во времени по сравнению со стандартными формулами (сравнивал со встроенным в PARI/GP функциями).

Существует ли способ как-то доказать эти рекурсивные тождества?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ 1 сообщение ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: B@R5uk


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group