Устойчивость

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1680625 писал(а):

периодов не то чтобы много, но несколько раз (единицы) туды-сюды колеблется

Значит поверхность мнётся.

EUgeneUS в сообщении #1680625 писал(а):

насколько можно наклонить "цилиндр", при этом устойчивое равновесие сохраняется.

Эээ, а сколько этих устойчивых равновесий?

[EUgeneUS]

мат-ламер в сообщении #1680621 писал(а):

Если выпуклая поверхность сверху, то устойчивость может быть и при конкретной ненулевой кривизне. Игрушка "Ванька-встанька" как-бы намекает.

Кстати.
Тут дело не в расположении кривой поверхности (снизу или сверху).
А в радиусе кривизны. Если поверхность таки сферическая, но радиус кривизны большой - больше, чем расстояние центра масс от точки соприкосновения, то всё выше описанное и должно наблюдаться.

-- 01.04.2025, 19:55 --

Geen в сообщении #1680631 писал(а):

Значит поверхность мнётся.

какое-то трение качения присутствует, да.
Но поверхность мнётся явно меньше, чем "размах устойчивых положений".

Geen в сообщении #1680631 писал(а):

Эээ, а сколько этих устойчивых равновесий?

Да сколько угодно (континуум).
При сдвигании цилиндра на некоторое расстояние от центра, он наклоняется, но продолжает находиться в устойчивом равновесии. При некотором, бОльшем сдвиге - конструкция соскальзывает (не опрокидывается). Пока не соскальзывает - положение устойчиво.

-- 01.04.2025, 19:58 --

Задумался, как продемонстрировать именно "тот эффект", а не "неваляшку".
Пока нет ответа.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1680634 писал(а):

Да сколько угодно (континуум).

А сколько в исходной задаче?

[EUgeneUS]

Geen в сообщении #1680648 писал(а):

А сколько в исходной задаче?

ОМГ. Вы реально не понимаете, или делаете вид?

Для каждого смещения цилиндра (коих континуум) - положение равновесия одно, что в опыте, что в исходной задаче. Но возможных смещений много.

[drzewo]

Плоские задачи обычно моделируются цилиндрическими телами.

[мат-ламер]

EUgeneUS в сообщении #1680625 писал(а):

Равносильна, см. решение уважаемого drzewo для случая обоих кривых поверхностей.

Приношу извинения. До решения drzevo пока не дошёл. Я думал, что вы наехали на realeugene по причине, что он не ту задачу рассматривает (у него плоскость снизу). Тут я затупил. А что задачи разные, так мне показалось, что чертежи у меня для них отличались. А сейчас присмотрелся к формулам - наблюдается сходство.

EUgeneUS в сообщении #1680634 писал(а):

Тут дело не в расположении кривой поверхности (снизу или сверху).
А в радиусе кривизны. Если поверхность таки сферическая, но радиус кривизны большой - больше, чем расстояние центра масс от точки соприкосновения, то всё выше описанное и должно наблюдаться.

Если плоская поверхность сверху, то это так для малых углов. Не уверен, что это соотношение будет верно для больших углов. Если поверхность сверху, то пока не считал.

[Geen]

EUgeneUS в сообщении #1680651 писал(а):

ОМГ. Вы реально не понимаете, или делаете вид?

Исходно Вы написали "наклонить"... и как это должно понимать?

[realeugene]

drzewo в сообщении #1680400 писал(а):

Так вот оказывается, что если кривизна графика в точке максимума равна нулю, то положение равновесия устойчиво независимо от высоты ящика.

Выделение моё.

Именно этому утверждению посвящена тема, а не неваляшкам.

Но эта задача устремить в бесконечность высоту ящика без потери локального минимума энергии и, следовательно, сделанного математиками вывода про устойчивость конструкции даже посложнее, чем поставить иголку на слегка сточенное острие, где тоже как бы есть локальный минимум энергии.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1680662 писал(а):

Плоские задачи обычно моделируются цилиндрическими телами.

Поясните, пожалуйста, к чему это замечание?

А я поясню в чем затруднение с практической реализацией.
Если поверхность имеет вид (в плоском случае) $f(x) = -|x^3|$, то кривизна у неё в $x=0$ нулевая. И формально можно установить на неё цилиндр любой высоты.
Если же поверхность имеет вид (в плоском случае) $f(x) = -|x^3| +ax^2$, то кривизна у неё в $x=0$ ненулевая. И формально нельзя установить на неё цилиндр любой высоты.
Однако, при достаточно малых $a$ в условиях эксперимента поверхности будут неразличимы.

-- 02.04.2025, 06:08 --

Geen в сообщении #1680666 писал(а):

Исходно Вы написали "наклонить"... и как это должно понимать?

Как хотите, так и понимайте.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1680690 писал(а):

Поясните, пожалуйста, к чему это замечание?

к тому, что я решал задачу про систему с одной степенью свободы, а не с тремя неголономными

EUgeneUS в сообщении #1680690 писал(а):

Однако, при достаточно малых $a$ в условиях эксперимента поверхности будут неразличимы.

я все таки полагаю, что если хорошенько подумать то случай $ax^2 +x^4$ и в эксперименте можно будет отличить от случая $ax^2+x^3$

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1680692 писал(а):

к тому, что я решал задачу про систему с одной степенью свободы, а не с тремя неголономными

Чтобы степень свободы была одна, фигурки должны быть скорее параллелепипедами, а не цилиндрами.
Понятно, опыт проводился на кухне с помощью кухонной утвари, а не на специально изготовленных штуках.
Однако, при некоторых условиях (например, при отсутствии вращения), имхо, вполне адекватен задаче.

-- 02.04.2025, 07:00 --

drzewo в сообщении #1680692 писал(а):

я все таки полагаю, что если хорошенько подумать то случай $ax^2 +x^4$ и в эксперименте можно будет отличить от случая $ax^2+x^3$

Проблема не в установлении максимальной степени в разложении.
А в установлении, что в разложении отсутствует $x^2$, иначе кривизна уже не будет нулем.

[Padawan]

drzewo в сообщении #1680489 писал(а):

Если $1>h(k(0)+\tilde k(0))$ то равновесие устойчиво;
Если $1<h(k(0)+\tilde k(0))$ то равновесие неустойчиво.
$h$ -- расстояние от точки контакта в положении равновесия до центра масс $C$.
В частности, если $k(0)=\tilde k(0)=0$ то зависимость от $h$ пропадает.

Нет, не правильно. У меня получилось, что разложение высоты центра масс по степеням $s$ имеет вид

$$ y(s)=h+\dfrac{1}{2}s^2 \big(\tilde k(0)+k(0)\big)\big(1-h(\tilde k(0)+k(0))\big)+\ldots $$

Поэтому Ваш вывод верен при условии $\tilde k(0)+k(0)>0$.
Если $\tilde k(0)=k(0)=0$, то начинают влиять $\dot k(0)$, $\dot{\tilde k}(0)$ и более высокие производные.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1680695 писал(а):

Чтобы степень свободы была одна, фигурки должны быть скорее параллелепипедами, а не цилиндрами.

Так или иначе мы друг друга поняли.

EUgeneUS в сообщении #1680695 писал(а):

Проблема не в установлении максимальной степени в разложении.
А в установлении, что в разложении отсутствует $x^2$, иначе кривизна уже не будет нулем

Нельзя экспериментально проверить или использовать, что какая-то величина в точности равна нулю. Я только не вижу в этом проблемы.

Padawan в сообщении #1680767 писал(а):

Нет, не правильно.

Замечательно.

Padawan в сообщении #1680767 писал(а):

У меня получилось, что разложение высоты центра масс по степеням $s$ имеет вид

$$ y(s)=h+\dfrac{1}{2}s^2 \big(\tilde k(0)+k(0)\big)\big(1-h(\tilde k(0)+k(0))\big)+\ldots $$

а у меня получилось

$$\frac{V'(s)}{mg}=s\cdot\big(k(0)+\tilde k(0)\big)\cdot\big(1-(k(0)+\tilde k(0))h+o(1)\big),\quad s\to 0$$

[Padawan]

И при $\tilde k(0) +k(0) =0$ получаем $V'(0) =0$, и вопрос об устойчивости открыт. Я не утверждаю, что ее не будет, надо дальнейшие знаки разложения смотреть.

-- Ср апр 02, 2025 17:44:07 --

Мне показалось, что там по-разному может получиться, но я не учел предположение, что кривизны положительны в проколотой окрестности нуля. Значит, первый ненулевой тейлоровский коэффициент в разложениях $\tilde k (s) $ и $k(s) $ положителен.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1680774 писал(а):

Нельзя экспериментально проверить или использовать, что какая-то величина в точности равна нулю.

Это так.

drzewo в сообщении #1680774 писал(а):

Я только не вижу в этом проблемы.

Попробую объяснить, в чем вижу затруднение.
Назовем "неваляшкой" такую систему, у которой
А) одна поверхность сопрокосновения - плоская,
Б) другая поверхность соприкосновения - выпуклая с ненулевой кривизной.
В) у системы есть положение устойчивого равновесия.

Устойчивость положения равновесия "неваляшки" зависит от расположения центра масс.
Для поверхности с нулевой кривизной - не зависит.
И эти два различных математически случая мы не можем различить в эксперименте.