Неизометричность компакта собственному подмножеству

[drzewo]

Ende
Выделено из темы «Группа не изоморфна собственной подгруппе».

Задача для ТС
Доказать, что компактное метрическое пространство $X$ не может быть изометрически изоморфно своему подпространству $F\subset X,\quad F\ne X$

[StudentV]

Здравствуйте, drzewo. Спасибо за задачу.

Думаю, ход решения должен быть такой:
- компактное метрическое пространство $X$ вполне ограничено. Это значит, что для любого $\varepsilon>0$ найдется конечное множество $N \subset X$ такое, что $\forall x \in X \exists n \in N \colon \rho(x, n) \le \varepsilon$. Это множество $N$ называется $\varepsilon$-сетью.
- нужно взять граничную точку $x$ множества $F$
- предположим, что существует изометрия $f \colon X \to F$
- нужно показать, что найдется $\varepsilon$ и соответствующая ему точка $n$ из $\varepsilon$-сети, для которых условие $\rho(f(x), f(n)) \le \varepsilon$ противоречит неравенству треугольника.

Полное доказательство придумать не смог, но еще подумаю. Буду благодарен, если подскажете, в правильном ли направлении я думаю.

[drzewo]

Классическая задача, вот мое решение.
https://storage4u.ru/file/2025/03/29/7d94bc051c6ab85256b08751130c8a3f.pdf

[StudentV]

Уважаемый drzewo, спасибо за решение. К сожалению, я не понял обозначения $f^n(z)$. Это что - $\underbrace{f \circ f \dots \circ f}_n$, т.е. $n$-кратная композиция функции с собой, или что-то другое?

[drzewo]

да, это композиция. Последовательность $f^n(z)$ содержит подпоследовательность Коши -- в силу компактности

[StudentV]

Уважаемый drzewo, спасибо, теперь я понял Ваше изящное доказательство. Конечно, сам я не додумался бы до него.

Интересно, можно ли обобщить доказанное утверждение на некомпактные, но вполне ограниченные пространства? Ваше доказательство существенно опирается на компактность, которая сильнее полной ограниченности: по лемме Гейне-Бореля, компактность = полная ограниченность + полнота.
Выше я попытался придумать доказательство, опирающееся только на полную ограниченность, но не преуспел. Моя неудача, конечно, ничего не означает. Но все-таки любопытно, есть ли пример вполне ограниченного пространства, изометричного собственному подпространству.

[dgwuqtj]

StudentV в сообщении #1680506 писал(а):

Но все-таки любопытно, есть ли пример вполне ограниченного пространства, изометричного собственному подпространству.

Есть. Возьмём множество $\{(\cos n \theta, \sin n \theta) \mid n \geq 0\} \subseteq \mathbb S^1$, где $\theta$ иррациональный угол (то есть все точки $(\cos n \theta, \sin n \theta)$ попарно различны). Оно изометрично собственному подпространству $\{(\cos n \theta, \sin n \theta) \mid n \geq 1\}$, изометрия — это поворот на $\theta$.

[vpb]

Можно исходную и через $\varepsilon$-сети решить. Но надо еще понятие $\varepsilon$-разреженного множества, т.е. такого, что между любыми его точками расстояние $>\varepsilon$.

Лемма. Если есть $\varepsilon$-сеть из $M$ точек, то для любого $\delta>2\varepsilon$ любое $\delta$-разреженное множество содержит не больше чем $M$ точек. (Доказать самому).

Следствие. Для данного $\varepsilon$ существует $N$ такое, что любое $\varepsilon$-разреженное множество содержит не более чем $N$ точек.

Теперь рассуждаем так. Пусть $f$ --- изометрическое вложение компакта $K$ в себя. Если $f(K)\ne K$, то есть точка $x\notin f(K)$. Возьмем $\varepsilon< d(x, f(K))$. Возьмем в $K$ некоторое $\varepsilon$-разреженное множество $X$ из максимально возможного числа точек, скажем из $M$ точек. Тогда $f(X)$ --- тоже $\varepsilon$-разреженное, из $M$ точек. Но $x$ лежит от $f(K)$, а тем более от $f(X)$, на расстоянии $>\varepsilon$. Значит $f(X)\cup\{x\}$ --- $\varepsilon$-разреженное из $M+1$ точки, противоречие.

[drzewo]

(Оффтоп)

Утверждение, что я выкладывал выше можно несколько обобщить
https://storage4u.ru/file/2025/04/01/cbf3e2cd46a007122c180e6e5e1a669f.pdf

[StudentV]

Уважаемый dgwuqtj, спасибо за пример. К сожалению, я не очень понял его. $S^1$ - это окружность, для задания точки на ней достаточно одной координаты - угла поворота $\varphi$. Я попытался переписать Ваше построение в этой системе координат, но не понял, почему поворот на $\theta$ - изометрия.
Возможно, Вы имели в виду все-таки $S^2$ ?

Уважаемый vpb, спасибо за доказательство. Я попытаюсь его разобрать в ближайшее время.

[dgwuqtj]

StudentV в сообщении #1680605 писал(а):

$S^1$ - это окружность, для задания точки на ней достаточно одной координаты - угла поворота $\varphi$. Я попытался переписать Ваше построение в этой системе координат, но не понял, почему поворот на $\theta$ - изометрия.

Если моё множество записать через полярный угол, будет $\{n \theta \bmod 180^\circ \mid n \geq 0\}$. При прибавлении $\theta$ оно переходит в собственное подмножество.