Площадь m-мерной поверхности в n-мерном пространстве?

[drzewo]

По-моему, этой теме уже давно пора в пургаторий.

[dgwuqtj]

Divergence в сообщении #1680566 писал(а):

Это интегрирование в евклидовом пространстве с метрикой $\delta_{kl}$.

А также относительно кучи других римановых метрик. Вы почему-то думаете, что евклидова должна быть канонической, но она зависит от выбора координат на $M_k$. Метрика по форме объёма не восстанавливается, кроме как в размерности $1$.

Конечно, можно вводить метрику как угодно при помощи координат, только потом не удивляйтесь, что она плохо соотносится с мерой. Ваш интеграл $L_1$ — это интеграл относительно метрики $g'_{kl} = (\prod_i a_i)^2 \delta_{kl}$, а соответствующая этой метрике форма объёма имеет вид $d\nu = (\prod_i a_i)^n \prod_j dx_j$. Исходная форма объёма была $d\mu = \prod_i a_i \prod_j dx_j$.

[drzewo]

Тут самое смешное в том, что человек пытается посчитать интеграл от $n-$формы при $n>1$ по кривой, и вместо того, что бы получить ноль получает какой-то криволинейный интеграл:)