Площадь m-мерной поверхности в n-мерном пространстве?

[Divergence]

Рассмотрим $m$-мерную поверхность в $n$-мерном Римановом пространстве с метрикой $g_{kl}({\bf x})$, $m<n$.
Пусть поверхность задана параметрически ${\bf x}={\bf x}({\bf u})$ nj то есть $x^k=x^k(u^1, \ldots \u^m)$ ($k=1, \ldots, n$).
Тогда индуцированная метрика на этой поверхности

$$ G_{ij}(u) \, = \, \sum^{n}_{k,l=1} g_{kl}({\bf x}) \, \frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^i} \, \frac{\partial x^l({\bf u})}{\partial u^j} . $$

Пусть $\Omega$ ограниченная область на этой поверхности (без экзотики).

Вопрос: как вычисляется площадь этой области ?

1) Можно ли использовать уравнение

$$ S(\Omega) = \, \int_{\Omega} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (G_{ij}({\bf u}) )| } \, du^1 \, \ldots \, d u^m \, ? $$

При $n=3$, $m=2$ и $g_{kl}=\delta_{kl}$ это уравнение дает стандартное уравнение площади области на 2-мерной поверхности в 3-мерном евклидовом пространстве.

2) Если эта формула не верна для $n$-мерном Римановом пространстве с метрикой $g_{kl}({\bf x})$ в общем виде, то верна ли эта формула для $n$-мерного евклидова пространства с метрикой $g_{kl}({\bf x})=\delta_{kl}$ и индуцированной метрикой

$$ G_{ij}(u) \, = \, \sum^{n}_{k=1} \frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^i} \, \frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^j} . $$

Прямым вычислением проверяется, что эта формула верна в случае для $m=n-1$-полусферы в $n$-мерном евклидовом пространстве.

Подскажите пожалуйста ссылки на книги и/или статьи на русском или английском.
Заранее спасибо.

[Padawan]

Да, верно. Например, см. П. К. Рашевский Риманова геометрия и тензорный анализ.

[Divergence]

Спасибо.
Да там есть параграф 88 "Измерение объемов в римановом пространстве" на стр.404-407.
Мне известна формула объема в римановом пространстве, но меня смущало отличие объема и площади.
Видимо их отличие просто в метрике. Позволяя себе некоторую вольность, можно сказать:
Площадь поверхности - это объем в пространстве с индуцированной метрикой.

[Утундрий]

Divergence в сообщении #1680485 писал(а):

Позволяя себе некоторую вольность, можно сказать:
Площадь поверхности - это объем в пространстве с индуцированной метрикой.

Длина, площадь, объём — это просто названия мер, используемые для того, чтобы явно не упоминать размерность. Это как если бы мы зачем-то насочиняли отдельных словов-словей для матриц $2\times 2$, для матриц $3\times 3$ и так далее.

[Divergence]

Раз упомянули меры, то есть еще один вопрос.
Рассмотрим произведение пространств $M_k$ (например $\mathbb{R}$) и произведение мер

$$ d\mu_1(x^k) = a_k(x^k) \, dx^k \quad (k=1, \dots,n) , \quad a_k(x^k) \ge 0$$

$$\mu_1([a_k,b_k]) = \int^{b_k}_{a_k} a_k(x^k) \, dx^k . $$

В пространстве являющемся произведение $M=M_1 \times \ldots \times M_n$ и произведение мер

$$ d\mu_n ({\bf x}) = \prod^n_{k=1} a(x^k) \, dx^k $$

Можно ли определить в $M$ диагональную положительно-определенную метрику

$$ g_{kl}({\bf x}) = \sum^n_{k=1} a^2_k(x^k) \delta_{kl} , $$

и рассматривать длины, поверхности и объемы, использую стандартные формулы для римановых многообразий (например, описанные выше для площади поверхности) ?

-- 31.03.2025, 14:23 --

А здесь есть подвох?
Разве не обычным мпособом

$$ (dl)^2= \sum^n_{k,l=1} g_{kl}({\bf x}) dx^k dx^l = \sum^n_{i,j=1} g^{new}_{ij}({\bf z}) \, dz^i \, dz^j $$

$$g^{new}_{ij}({\bf z}) := \sum^n_{k,l=1} g_{kl}({\bf x}({\bf z})) \frac{\partial x^k}{\partial z^i} \frac{\partial x^l}{\partial z^j} . $$

Или тут какие проблемы со стороны теории мер?
Можно конечно сделать преобразование координат и прийти к новому евклидовому пространсту, но функции типа $a(x)=|x|^{1/4}$ смущают.
Координаты в этом новом евклидовом пространсте как-то не очень комфортные.

[drzewo]

Divergence в сообщении #1680495 писал(а):

Можно ли определить в $M$ диагональную положительно-определенную метрику

$$ g_{kl}({\bf x}) = \sum^n_{k=1} a^2_k(x^k) \delta_{kl} , $$

Вроде можно.
Если взять несколько экземпляров $\mathbb{R}$ и в каждом определить меру $d\mu_k=a_k(x_k)dx_k,\quad a_k>0$ то в прямом произведении этих пространств , да, можно определить меру $d\mu= a_1\ldots a_ndx_1\ldots dx_n$ и метрику с матрицей Грамма
$$G=\mathrm{diag}\,(a^2_1,\ldots,a^2_n)$. Мера, порожденная данной метрикой будет совпадать с $d\mu$ как я понимаю

[Divergence]

То, что "Вроде можно" и то, что "Мера, порожденная данной метрикой будет совпадать" для "объемного интеграла" же знаю.
Воспрос о наличии подвохов.
Например, $\, \sqrt{ | \operatorname{det} (g_{kl}({\bf x}({\bf u}))|}$ можно рассматривать как функцию в евклидовом пространстве

$$ S(\Omega) = \int_{M} \chi_{\Omega}({\bf x}) \, d\mu_n({\bf x}) = \int_{M} \chi_{\Omega}({\bf x}) \, \sqrt{g({\bf x})} \prod^n_{k=1} dx^k = \int_{\Omega} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (g_{kl}({\bf x}({\bf u}))|} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (G^{1}_{ij}({\bf u}) )| } \, du^1 \, \ldots \, d u^m $$

где $ \chi_{\Omega}({\bf x})$ - характеристическая функция поверхности (равне 1 в точках поверхности и 0 в других точках).
В этом случае мера не порождает метрику и

$$ S_1(\Omega) = \, \int_{\Omega} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (G^{1}_{ij}({\bf u}) )| } \, \sqrt{ | \operatorname{det} (g_{kl}({\bf x}({\bf u}))|} \, du^1 \, \ldots \, d u^m \, $$

где

$$ G^{1}_{ij}(u) \, = \, \sum^{n}_{k=1} \frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^i} \, \frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^j} . $$

А если мы отождествляем меру с метрикой, то

$$ S_1(\Omega) = \, \int_{\Omega} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (G^{2}_{ij}({\bf u}) )| } \, du^1 \, \ldots \, d u^m \, $$

$$ G^{2}_{ij}(u) \, = \, \sum^{n}_{k=1} g_{kk}({\bf x}({\bf u}))\frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^i} \, \frac{\partial x^k({\bf u})}{\partial u^j} . $$

При том эти уравнения не тождественны, поскольку

$$ \operatorname{det} (G^{1}_{ij}({\bf u}) ) \, \operatorname{det} (g_{kl}({\bf x}({\bf u})) \, = \, \operatorname{det} (G^{2}_{ij}({\bf u}) ) .$$

например, для длины кривой и $n=2$ это выглядит так

$$ a^2_1(x^1) a^2_2(x^2) \sum^2_{k=1} \Bigl(\frac{dx^k(t)}{dt}\Bigr)^2 \ne \sum^2_{k=1} a^2_k(x^k) \Bigl(\frac{dx^k(t)}{dt}\Bigr)^2 . $$

[drzewo]

Divergence в сообщении #1680509 писал(а):

рассматривать как функцию в евклидовом пространстве

$$ S(\Omega) = \int_{M} \chi_{\Omega}({\bf x}) \, d\mu_n({\bf x}) = \int_{M} \chi_{\Omega}({\bf x}) \, \sqrt{g({\bf x})} \prod^n_{k=1} dx^k = \int_{\Omega} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (g_{kl}({\bf x}({\bf u}))|} \, \sqrt{ | \operatorname{det} (G^{1}_{ij}({\bf u}) )| } \, du^1 \, \ldots \, d u^m $$

что такое $M$? что такое $\Omega$?

[Утундрий]

Пошла какая-то путаница.

Divergence
Что куда вложено? Если можно — коротко. Без рисунков и подробностей.

[Divergence]

1) Есть пространство $(M,\mu)$ - произведение $(M_k,\mu_k)$ (product of measure spaces).
Это пространство можно рассматривать как Риманово $(M,g)$ с диагональной римановой метрикой $g$.
2) В пространствах $(M,\mu)$ и $(M,g)$ можно рассматривать криволинейные интегралы (line integrals) на поверхности и объемные интегралы (volume integrals).
3) Объемные интегралы совпадают, а криволинейные интегралы не совпадают.

[dgwuqtj]

Divergence в сообщении #1680540 писал(а):

В пространствах $(M,\mu)$ и $(M,g)$ можно рассматривать криволинейные интегралы

А откуда в пространстве с одной только мерой (ну или дифференциальной формой объёма) возьмутся криволинейные интегралы?

[Divergence]

Просили кратко.
На поверхности индуцируется метрики $G^{1}_{ij}({\bf u})$, $G^{2}_{ij}({\bf u})$ и эти метрики разные в $(M,\mu)$ и $(M,g)$, поскольку первое евклидово, а другое риманово.

Пусть $L \subset S$ — линия на поверхности $S$ такая, что $L$ описывается уравнениями $x^k = x^k ({\bf u}(t))= x^k (u^1(t), \ldots u^m(t) )=$, где $k= 1, \ldots , n$ и $t\in [a,b]$.
Тогда длина линии $L$ на поверхности $S$ в пространствах $(M,\mu)$ и $(M,g)$ задается уравнениями:
В пространстве $(M,\mu)$

$$ L_1[a,b] = \int^{b}_{a} \prod^{n}_{k=1} a^2_k(x^k({\bf u}(t))) \, \sqrt{ \sum^m_{i,j=1} G^{1}_{ij}({\bf u}(t)) \, \frac{du^i(t)}{dt} \, \frac{du^j(t)}{dt} } \, dt , $$

$$ G^{1}_{ij}({\bf u}) \, := \, \sum^{n}_{k=1} \frac{\partial x^{k}({\bf u})}{\partial u^i} \, \frac{\partial x^{k} ({\bf u})}{\partial u^j}, $$

В пространстве $(M,g)$

$$ L_2[a,b] = \int^{b}_{a} \, \sqrt{ \sum^{m}_{i.j=1} G^{2}_{ij}({\bf u}(t)) \, \frac{du^i(t)}{dt} \, \frac{du^j(t)}{dt} } \, dt $$

$$ G^{2}_{ij}({\bf u}) \, := \, \sum^{n}_{k=1} a^2_k(x^k({\bf u}(t))) \frac{\partial x^{k}({\bf u})}{\partial u^i} \, \frac{\partial x^{k} ({\bf u})}{\partial u^j} . $$

[makxsiq]

(Оффтоп)

Не понимаю я в ваших тензорах.
Но площадь параметризованной $n-1$ мерной поверхности
$\{\alpha_1(x_1,...,x_{n-1}),...,\alpha_n(x_1,...,x_{n-1})\}$
в $n$-мерном пространстве это по определению

$$ S = \idotsint \lVert H_n \rVert dx_1...dx_{n-1}, $$

где $H_n$ - определитель:

$$ H_n= \begin{vmatrix} \mathfrak{j}_1 & \dfrac{\partial \alpha_1}{\partial x_1} & \dfrac{\partial \alpha_1}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial \alpha_1}{\partial x_{n-1}} \\ \mathfrak{j}_2 & \dfrac{\partial \alpha_2}{\partial x_1} & \dfrac{\partial \alpha_2}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial \alpha_2}{\partial x_{n-1}} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \mathfrak{j}_n & \dfrac{\partial \alpha_n}{\partial x_1} & \dfrac{\partial \alpha_n}{\partial x_2} & \cdots & \dfrac{\partial \alpha_n}{\partial x_{n-1}} \\ \end{vmatrix}, $$

где $\{\mathfrak{j}_1,...,\mathfrak{j}_n\}$ - ортонормированный базис в пространстве $R^n$.

[dgwuqtj]

Divergence в сообщении #1680495 писал(а):

Можно ли определить в $M$ диагональную положительно-определенную метрику

$$ g_{kl}({\bf x}) = \sum^n_{k=1} a^2_k(x^k) \delta_{kl} , $$

Должно быть $g_{kl}({\bf x}) = a^2_k(x^k) \delta_{kl}$, это же произведение одномерных римановых многообразий. Так что ваша формула для длины кривой $L_1$ неправильная, метрический тензор $g$ зависит от направления.

[Divergence]

Да, в рамках $(M,g)$ и дифференциальной геометрии $L_2$ -правильная формула, а $L_1$ - не правильная.

Теперь посмотрим в рамках $(M,\mu)$ и теории меры.
Рассмотрим интеграл по пространству $(M,\mu)$ от некоторой функции

$$ I_M f({\bf x}) := \int_{M} f({\bf x}) \, d\mu_n({\bf x}) = \int_{M} f({\bf x}) \, \prod^n_{k=1} a_k(x^k) \prod^n_{k=1} dx^k . $$

Этот интеграл можно записать в виде

$$ I_M f({\bf x}) = \int_{M} \, F({\bf x}) \, \prod^n_{k=1} dx^k , $$

где

$$ F({\bf x}) := f({\bf x}) \, \prod^n_{k=1} a_k(x^k) $$

Это интегрирование в евклидовом пространстве с метрикой $\delta_{kl}$.
Криволинейный интеграл от скалярной функции вдоль линии ${\bf x}={\bf x}(t)$ ($t\in [a,b]$) в таком пространстве можно определить

$$ I_M \chi_{L}({\bf x}) f({\bf x}) = \int_{M} \chi_{L}({\bf x}) \, f({\bf x}) \, d\mu_n({\bf x}) = \int_{M} \chi_{L}({\bf x}) \, F({\bf x}) \prod^n_{k=1} dx^k = $$

$$ = \int^b_a F({\bf x}(t)) \sqrt{ \sum^n_{k=1} \left( \frac{dx^k(t)}{dt}\right)^2} dt = \int_{L} f({\bf x}(t)) \prod^n_{k=1} a_k(x^k(t)) \sqrt{ \sum^n_{k=1} \left( \frac{dx^k(t)}{dt}\right)^2} dt , $$

где $ \chi_{L}({\bf x})$ - характеристическая функция кривой (равна 1 в точках кривой и 0 в других точках).
В этом случае длина типа $L_1$ кривой правильная. Где здесь в рассуждениях ошибка?
А может ошибок нет, и оба подхода корректны, а поворотная точка – это интерпретировать или не интерпретировать произведение мер, как корень из детерминанта метрики?
Просто, $(M,g)$ и $(M,\mu)$ - разные пространства.