Интеграл из учебника Тихонова-Самарского

[Nicolya]

Добрый день,

Не могу понять как в учебнике Тихонова-Самарского вычислен такой интеграл:

$\int_{-\infty }^{\infty }\exp(-a^{2}\lambda^{2}t+i\lambda(x-\xi))d\lambda = \frac{1}{2\sqrt{\pi a^{2}t}}e^{-\frac{(x-\xi)^{2}}{4a^{2}t}} $

Подскажите, пожалуйста, как его вычислить.

[drzewo]

Иосида Функциональный анализ Москва 1967
стр 210

[thething]

Nicolya
Можете убедиться, что мнимая часть интеграла равна нулю, а оставшуюся действительную продифференцировать по параметру (коим является $x-\xi$). Потом -- по частям.

[Утундрий]

По $\lambda$ дополняем до полного квадрата, потом рецитируем ряд мантр о неизменности интеграла от деформации контура и вуаля.

[vpb]

Вообще, пример абсолютно стандартный, можно было бы прямо тут подробности написать, да лень. В задачнике Волковыского почему-то нет. См. действительно в Иосиде, или отечественный аналог, Колмогоров-Фомин, гл.8, параграф 4, пункт 1. В КФ там еще несколько примеров того же свойства, на вычисление преобразования Фурье и тем же методом (только в других примерах еще вычеты используются). Весьма рекомендую.

[ihq.pl]

Зачем искать лёгкие пути? Разложить комплексную экспоненту в ряд Тейлора, проинтегрировать почленно, полученный ряд сложить обратно в экспоненту.

[drzewo]

ihq.pl в сообщении #1680150 писал(а):

Зачем искать лёгкие пути? Разложить комплексную экспоненту в ряд Тейлора, проинтегрировать почленно, полученный ряд сложить обратно в экспоненту.

продемонстрируйте плз

[ihq.pl]

$$\int_R e^{-a^2x^2t}e^{ixy}dx = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iy)^k}{k!} \int_R x^k e^{-a^2x^2t}dx = \sum_{k=0}^\infty \frac{(iy)^{2k}}{(2k)!} \int_R x^{2k} e^{-a^2x^2t}dx=$$

$$= \sum_{k=0}^\infty \left(\frac{-y^2}{2a^2t}\right)^k \frac{(2k-1)(2k-3)\cdot...\cdot 3\cdot 1}{(2k)!} \int_R e^{-a^2x^2t}dx = \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{k!}\left(-\frac{y^2}{4a^2t}\right)^k\int_R e^{-a^2x^2t}dx$$

Похоже, у ТС ошибка в формуле. Хотя, может, у меня.