Переход к хаосу в геометрических итерациях

[denny]

Получено много новых результатов по итерациям орто-треугольников, поэтому решил сделать отдельный пост, может кому-то будет интересно.

Итак, речь идет о т.н. орто-треугольниках (ОТ). Вершинами ОТ являются основаниями высот исходного треугольника (лежащие, возможно, на продолжениях сторон).
Если треугольник не является прямоугольным, для него всегда существует ОТ, и мы можем провести итеративный процесс, строя последовательные ОТ.
Если работать с float арифметикой, вероятность возникновения угла $\pi/2$ фактически равна нулю (впрочем можно на это поставить Catch-Try).

Здесь доказано, что радиус описанной окружности у ОТ ровно в два раза меньше, чем у исходного.
Поэтому данная последовательность быстро сходится к точке.

Здесь рассмотрен процесс преобразования углов для ОТ. Доказано, что если углы целые (рациональные), то будут получаться циклы, любой заведомо заданной длины. Для float углов получается хаос.

Я исследовал эту тему с разных сторон, желающим могу выслать файл Mathematica.
Здесь поделюсь самым интересным результатом.

Если мы пронумеруем вершины исходного треугольника, то эта нумерация сохраняется в процессе — всегда можно сказать, какая вершина перешла в какую. В Mathematica (TriangleConstruct) массив оснований высот также не перепутывается (как например бывает для MeshRegion).
Поэтому мы можем ввести понятие ориентации треугольника как угла между стороной $1-2$ и осью $OX$.

В отличие от внутренних углов нет простого правила для ориентаций, их приходится брать из самих треугольников. И тут возникает проблема ошибок вычислений, т.к. длины сторон очень быстро становятся порядка $10^{-16}$.
Поэтому я применил перенормировку.
Каждый новый ОТ масштабируется путем гомотетии с коэффициентом 2 относительно центра (обычного, центра масс) и переносится в центр исходного.

То, что получается, выглядит похоже для разных треугольников. Я назвал это Звездой Хаоса:



Численный анализ показывает, что массив ориентаций является равномерно случайным. Оценку по Ляпунову еще не проводил, но траектории расходятся очень быстро: если сместить одну из вершин на $10^{-6}$, то расхождение становится порядка $1$ уже на $18-20$ шаге.

Сама звезда напоминает шестиконечную, но это не намек на масонов , а видимо результат корреляции между ориентацией и собственно углами треугольников.

Размышляя далее на эту тему, ввел понятие обобщенного ОТ (ООТ)
Пусть вершины исходного треугольника $A_i$, основания высот $T_i$.
Введем параметр $0 \leq t \leq 1$ и рассмотрим нечто вроде чевианы, а именно точку

$$P_i = (1-t) \cdot T_i + t \cdot A_j$$

где $j = (i+1) \mod 3 $

При $t=0$ точки $P_i$ образуют обычный ОТ, а при $t=1$ - исходный треугольник.






При любом $t$ мы можем построить новый ООТ, продолжая итерации.
Очевидно, что при $t =0$ получится все тот же хаос, а при $t=1$ - тавтология.
Промежуточные результаты также в целом ожидаемы:



Здесь возникает технический вопрос. При $t \neq 0, 1$ размеры новых треугольников меняются при итерациях более сложным образом, чем при итерациях ОТ. Приблизительно это гомотетия с коэффициентом $t - 2$, но это не строго.
Буду рад, если кто-то исследует теоретически этот вопрос. Практически главное — избегать слишком сильных сжатия и расходимости, этого легко добиться указанной гомотетией.

Возникло подозрение, что где-то «посередине» можно увидеть рождение хаоса,
и это действительно так! Причем рождение происходит по классической схеме «удвоение периода».
Вот спектрограммы для семплов $t$ (для разных начальных треугольников они очень похожи):



Для более детального исследования этого вида хаоса у меня не хватит квалификации.
Возможно, кто-то продолжит.

[drzewo]

Думаю, что вся эта веселуха проходит по ведомству одномерной динамики (динамики отображений одномерного многообразия)

[denny]

drzewo в сообщении #1679969 писал(а):

Думаю, что вся эта веселуха проходит по ведомству одномерной динамики (динамики отображений одномерного многообразия)

Да, мне бы тоже хотелось как-то привести это к одномерному процессу, но не получается.
Если начальный треугольник будет $((0,0), (1,0), (u,v))$ то ООТ с параметром $t$ получится:

$$ \left( \begin{array}{cc} \frac{t u^2-2 t u+t+v^2}{u^2-2 u+v^2+1} & \frac{(t-1) (u-1) v}{u^2-2 u+v^2+1} \\ \frac{u \left(t u^2-t u+t v^2+u\right)}{u^2+v^2} & \frac{v \left(t u^2-t u+t v^2+u\right)}{u^2+v^2} \\ -((t-1) u) & 0 \\ \end{array} \right)$$

Не так уж сложно, но в этом процессе "прелесть" в другом. Можно написать и более простые преобразования,
и получить хаос. Но здесь есть очевидный геометрический смысл и наглядность!