Получено много новых результатов по
итерациям орто-треугольников, поэтому решил сделать отдельный пост, может кому-то будет интересно.
Итак, речь идет о т.н. орто-треугольниках (ОТ). Вершинами ОТ являются основаниями высот исходного треугольника (лежащие, возможно, на продолжениях сторон).
Если треугольник не является прямоугольным, для него всегда существует ОТ, и мы можем провести итеративный процесс, строя последовательные ОТ.
Если работать с float арифметикой, вероятность возникновения угла

фактически равна нулю (впрочем можно на это поставить Catch-Try).
Здесь доказано, что радиус описанной окружности у ОТ
ровно в два раза меньше, чем у исходного.
Поэтому данная последовательность быстро сходится к точке.
Здесь рассмотрен процесс преобразования углов для ОТ. Доказано, что если углы целые (рациональные), то будут получаться циклы, любой заведомо заданной длины. Для float углов получается хаос.
Я исследовал эту тему с разных сторон, желающим могу выслать файл Mathematica.
Здесь поделюсь самым интересным результатом.
Если мы пронумеруем вершины исходного треугольника, то эта нумерация сохраняется в процессе — всегда можно сказать, какая вершина перешла в какую. В Mathematica (TriangleConstruct) массив оснований высот также не перепутывается (как например бывает для MeshRegion).
Поэтому мы можем ввести понятие
ориентации треугольника как угла между стороной

и осью

.
В отличие от внутренних углов нет простого правила для ориентаций, их приходится брать из самих треугольников. И тут возникает проблема ошибок вычислений, т.к. длины сторон очень быстро становятся порядка

.
Поэтому я применил
перенормировку.
Каждый новый ОТ масштабируется путем гомотетии с коэффициентом 2 относительно центра (обычного, центра масс) и переносится в центр исходного.
То, что получается, выглядит похоже для разных треугольников. Я назвал это Звездой Хаоса:
Численный анализ показывает, что массив ориентаций является
равномерно случайным. Оценку по Ляпунову еще не проводил, но траектории расходятся очень быстро: если сместить одну из вершин на

, то расхождение становится порядка

уже на

шаге.
Сама звезда напоминает шестиконечную, но это не намек на масонов

, а видимо результат корреляции между ориентацией и собственно углами треугольников.
Размышляя далее на эту тему, ввел понятие
обобщенного ОТ (ООТ)Пусть вершины исходного треугольника

, основания высот

.
Введем параметр

и рассмотрим нечто вроде чевианы, а именно точку
где

При

точки

образуют обычный ОТ, а при

- исходный треугольник.


При любом

мы можем построить новый ООТ, продолжая итерации.
Очевидно, что при

получится все тот же хаос, а при

- тавтология.
Промежуточные результаты также в целом ожидаемы:
Здесь возникает
технический вопрос. При

размеры новых треугольников меняются при итерациях более сложным образом, чем при итерациях ОТ.
Приблизительно это гомотетия с коэффициентом

, но это не строго.
Буду рад, если кто-то исследует теоретически этот вопрос. Практически главное — избегать слишком сильных сжатия и расходимости, этого легко добиться указанной гомотетией.
Возникло подозрение, что где-то «посередине» можно увидеть
рождение хаоса,
и это действительно так! Причем рождение происходит по классической схеме «удвоение периода».
Вот спектрограммы для семплов

(для разных начальных треугольников они очень похожи):

Для более детального исследования этого вида хаоса у меня не хватит квалификации.
Возможно, кто-то продолжит.