2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Переход к хаосу в геометрических итерациях
Сообщение25.03.2025, 18:06 


20/12/14
159
Получено много новых результатов по итерациям орто-треугольников, поэтому решил сделать отдельный пост, может кому-то будет интересно.

Итак, речь идет о т.н. орто-треугольниках (ОТ). Вершинами ОТ являются основаниями высот исходного треугольника (лежащие, возможно, на продолжениях сторон).
Если треугольник не является прямоугольным, для него всегда существует ОТ, и мы можем провести итеративный процесс, строя последовательные ОТ.
Если работать с float арифметикой, вероятность возникновения угла $\pi/2$ фактически равна нулю (впрочем можно на это поставить Catch-Try).

Здесь доказано, что радиус описанной окружности у ОТ ровно в два раза меньше, чем у исходного.
Поэтому данная последовательность быстро сходится к точке.

Здесь рассмотрен процесс преобразования углов для ОТ. Доказано, что если углы целые (рациональные), то будут получаться циклы, любой заведомо заданной длины. Для float углов получается хаос.

Я исследовал эту тему с разных сторон, желающим могу выслать файл Mathematica.
Здесь поделюсь самым интересным результатом.

Если мы пронумеруем вершины исходного треугольника, то эта нумерация сохраняется в процессе — всегда можно сказать, какая вершина перешла в какую. В Mathematica (TriangleConstruct) массив оснований высот также не перепутывается (как например бывает для MeshRegion).
Поэтому мы можем ввести понятие ориентации треугольника как угла между стороной $1-2$ и осью $OX$.

В отличие от внутренних углов нет простого правила для ориентаций, их приходится брать из самих треугольников. И тут возникает проблема ошибок вычислений, т.к. длины сторон очень быстро становятся порядка $10^{-16}$.
Поэтому я применил перенормировку.
Каждый новый ОТ масштабируется путем гомотетии с коэффициентом 2 относительно центра (обычного, центра масс) и переносится в центр исходного.

То, что получается, выглядит похоже для разных треугольников. Я назвал это Звездой Хаоса:

Изображение

Численный анализ показывает, что массив ориентаций является равномерно случайным. Оценку по Ляпунову еще не проводил, но траектории расходятся очень быстро: если сместить одну из вершин на $10^{-6}$, то расхождение становится порядка $1$ уже на $18-20$ шаге.

Сама звезда напоминает шестиконечную, но это не намек на масонов :twisted: , а видимо результат корреляции между ориентацией и собственно углами треугольников.

Размышляя далее на эту тему, ввел понятие обобщенного ОТ (ООТ)
Пусть вершины исходного треугольника $A_i$, основания высот $T_i$.
Введем параметр $0 \leq t \leq 1$ и рассмотрим нечто вроде чевианы, а именно точку
$$P_i = (1-t) \cdot T_i + t \cdot A_j$$
где $j = (i+1) \mod 3 $

При $t=0$ точки $P_i$ образуют обычный ОТ, а при $t=1$ - исходный треугольник.

Изображение

Изображение


При любом $t$ мы можем построить новый ООТ, продолжая итерации.
Очевидно, что при $t =0$ получится все тот же хаос, а при $t=1$ - тавтология.
Промежуточные результаты также в целом ожидаемы:

Изображение

Здесь возникает технический вопрос. При $t \neq 0, 1$ размеры новых треугольников меняются при итерациях более сложным образом, чем при итерациях ОТ. Приблизительно это гомотетия с коэффициентом $t - 2$, но это не строго.
Буду рад, если кто-то исследует теоретически этот вопрос. Практически главное — избегать слишком сильных сжатия и расходимости, этого легко добиться указанной гомотетией.

Возникло подозрение, что где-то «посередине» можно увидеть рождение хаоса,
и это действительно так! Причем рождение происходит по классической схеме «удвоение периода».
Вот спектрограммы для семплов $t$ (для разных начальных треугольников они очень похожи):

Изображение

Для более детального исследования этого вида хаоса у меня не хватит квалификации.
Возможно, кто-то продолжит.

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к хаосу в геометрических итерациях
Сообщение26.03.2025, 12:05 


21/12/16
1418
Думаю, что вся эта веселуха проходит по ведомству одномерной динамики (динамики отображений одномерного многообразия)

 Профиль  
                  
 
 Re: Переход к хаосу в геометрических итерациях
Сообщение27.03.2025, 08:04 


20/12/14
159
drzewo в сообщении #1679969 писал(а):
Думаю, что вся эта веселуха проходит по ведомству одномерной динамики (динамики отображений одномерного многообразия)

Да, мне бы тоже хотелось как-то привести это к одномерному процессу, но не получается.
Если начальный треугольник будет $((0,0), (1,0), (u,v))$ то ООТ с параметром $t$ получится:

$$ \left(
\begin{array}{cc}
 \frac{t u^2-2 t u+t+v^2}{u^2-2 u+v^2+1} & \frac{(t-1) (u-1) v}{u^2-2 u+v^2+1} \\
 \frac{u \left(t u^2-t u+t v^2+u\right)}{u^2+v^2} & \frac{v \left(t u^2-t u+t v^2+u\right)}{u^2+v^2} \\
 -((t-1) u) & 0 \\
\end{array}
\right)$$

Не так уж сложно, но в этом процессе "прелесть" в другом. Можно написать и более простые преобразования,
и получить хаос. Но здесь есть очевидный геометрический смысл и наглядность!

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 3 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group