Полнота C(R)

[artempalkin]

Рассмотрим линейное пространство функций, непрерывных на всей числовой прямой. Можно ли снабдить его нормой, чтобы оно было полным (как метрическое)?
У меня есть подозрение, что нет... я даже навскидку не могу придумать норму в целом на этом пр-ве... логично было бы как-то линейным образом сначала все функции сделать ограниченными, а потом рассмотреть обычную супремумную норму, но как это сделать я пока не пойму...

[dgwuqtj]

Вы его с какой-то готовой топологией рассматриваете или просто как векторное пространство? Во втором случае норма есть, оно размерности континуум и изоморфно $\mathrm C([0, 1])$.

[artempalkin]

dgwuqtj
Типа, отображаем непрерывно (и линейно по идее) на $C[0,1]$ и потом используем обычную норму?

dgwuqtj в сообщении #1679048 писал(а):

оно размерности континуум

Вот это не совсем понял, кто "оно"?

[dgwuqtj]

Так какая у вас топология на $\mathrm C(\mathbb R)$? Равномерной сходимости на компактах?

artempalkin в сообщении #1679051 писал(а):

Вот это не совсем понял, кто "оно"?

$\mathrm C(\mathbb R)$.

[artempalkin]

dgwuqtj в сообщении #1679052 писал(а):

Так какая у вас топология на $\mathrm C(\mathbb R)$? Равномерной сходимости на компактах?

Пока никакой топологии. Любая подойдет. Я пока ни одной нормы придумать не смог.

[drzewo]

Допустим топология компактной сходимости в $C(\mathbb{R})$ нормируема нормой $\|\cdot\|$. Тогда

$$\|f\|\le c_1\|f\|_{C(K_1)}+\ldots+c_n\|f\|_{C(K_n)}$$

Остается подобрать $f\ne 0,\quad f\in C(\mathbb{R})$, которая равна нулю на всех компактах $K_i$

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1679101 писал(а):

Пока никакой топологии. Любая подойдет.

Тогда у Вас от пространства важна только алгебраическая размерность (если есть аксиома выбора).

artempalkin в сообщении #1679051 писал(а):

Типа, отображаем непрерывно (и линейно по идее) на $C[0,1]$ и потом используем обычную норму?

Просто линейно. Про непрерывность без топологии говорить нельзя.

[dgwuqtj]

artempalkin в сообщении #1679101 писал(а):

Пока никакой топологии. Любая подойдет.

Заметим, что любое сепарабельное гильбертово пространство имеет размерность континуум (в смысле абстрактной линейной алгебры, то есть там базисы Гамеля континуальны). Действительно, размерность не может быть больше континуума из соображений мощности, т.к. $l_2$ вкладывается в $\mathbb R^{\mathbb N}$. С другой стороны, в $L_2(\mathbb R)$ характеристические функции отрезков $[0, a]$ при $a > 0$ линейно независимы.

Из этого следует, что у многих стандартных пространств функционального анализа размерность тоже континуум. В частности, $\mathrm C(\mathbb R)$ имеет размерность континуум: с одной стороны, в него вкладывается $l_2$ (и даже $\mathbb R^{\mathbb N}$), а с другой $\mathrm C(\mathbb R) \leq \mathbb R^{\mathbb Q} \cong \mathbb R^{\mathbb N}$.

Так как $\mathrm C(\mathbb R)$ имеет ту же размерность, что и $l_2$, найдётся изоморфизм $F \colon \mathrm C(\mathbb R) \to l_2$ в смысле линейной алгебры. Тогда на $\mathrm C(\mathbb R)$ можно завести норму $\|f\| = \|F(f)\|_2$, с этой нормой оно сепарабельное гильбертово. Ни с какими естественными топологиями на $\mathrm C(\mathbb R)$ эта конструкция не связана.

[artempalkin]

dgwuqtj в сообщении #1679106 писал(а):

Заметим, что любое сепарабельное гильбертово пространство имеет размерность континуум (в смысле абстрактной линейной алгебры, то есть там базисы Гамеля континуальны). Действительно, размерность не может быть больше континуума из соображений мощности, т.к. $l_2$ вкладывается в $\mathbb R^{\mathbb N}$. С другой стороны, в $L_2(\mathbb R)$ характеристические функции отрезков $[0, a]$ при $a > 0$ линейно независимы.

Мудро, спасибо!

dgwuqtj в сообщении #1679106 писал(а):

Из этого следует, что у многих стандартных пространств функционального анализа размерность тоже континуум. В частности, $\mathrm C(\mathbb R)$ имеет размерность континуум: с одной стороны, в него вкладывается $l_2$ (и даже $\mathbb R^{\mathbb N}$), а с другой $\mathrm C(\mathbb R) \leq \mathbb R^{\mathbb Q} \cong \mathbb R^{\mathbb N}$.

Даже не уверен, что смогу придумать пространство с бОльшей размерностью

dgwuqtj в сообщении #1679106 писал(а):

Так как $\mathrm C(\mathbb R)$ имеет ту же размерность, что и $l_2$, найдётся изоморфизм $F \colon \mathrm C(\mathbb R) \to l_2$ в смысле линейной алгебры. Тогда на $\mathrm C(\mathbb R)$ можно завести норму $\|f\| = \|F(f)\|_2$, с этой нормой оно сепарабельное гильбертово. Ни с какими естественными топологиями на $\mathrm C(\mathbb R)$ эта конструкция не связана.

Да, это понятно. И теперь мне становится понятен исходный комментарий

dgwuqtj в сообщении #1679048 писал(а):

оно размерности континуум

Я все не мог понять, зачем тут эта информация.

mihaild в сообщении #1679106 писал(а):

Просто линейно. Про непрерывность без топологии говорить нельзя.

Да, я думал просто о какой-то "естественной" непрерывности, но это глупо, я согласен. Просто линейно.




Друзья, большое спасибо, я полностью понял вашу идею. Норма существует, ее можно построить неконструктивно с помощью аксиомы выбора (а именно базиса Гамеля).
Это ценная по-своему информация, расширяющая мой взгляд на мир. Еще раз спасибо!

Но все же меня интересует вопрос: а конструктивно такую норму построить можно? :) просто из ваших ответов (а именно их отсутствия относительно конструктивного варианта) как будто следует, что нет...

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1679258 писал(а):

Даже не уверен, что смогу придумать пространство с бОльшей размерностью

Пространство функций $X \to \mathbb R$ для достаточно большого $X$.

artempalkin в сообщении #1679258 писал(а):

Но все же меня интересует вопрос: а конструктивно такую норму построить можно?

Если "конструктивно" означает "без аксиомы выбора" - то нельзя. Без неё может оказаться, что на этом пространстве вообще нельзя ввести норму, даже не банахову.

[artempalkin]

mihaild в сообщении #1679260 писал(а):

Если "конструктивно" означает "без аксиомы выбора" - то нельзя. Без неё может оказаться, что на этом пространстве вообще нельзя ввести норму, даже не банахову.

Ну, "без аксиомы выбора" звучит очень смело, мало ли где она там использовалась раньше для построения здания математики к моменту, когда меня вдруг заинтересовал этот вопрос :) я бы сказал так, что конструктивно - то есть так, чтобы была разумная возможность узнать значения нормы хотя бы для каких-то функций...
Но по сути да, без аксиомы выбора.

А как-то доказывается это смелое утверждение? Что без АВ не построишь норму?

[mihaild]

artempalkin в сообщении #1679271 писал(а):

я бы сказал так, что конструктивно - то есть так, чтобы была разумная возможность узнать значения нормы хотя бы для каких-то функций

Да пожалуйста, приносите функции, я Вам скажу норму :) (с помощью последовательного вложения всех принесенных функций в $c_0$ хотя бы)

artempalkin в сообщении #1679271 писал(а):

А как-то доказывается это смелое утверждение? Что без АВ не построишь норму?

Да, но не совсем тривиально https://math.stackexchange.com/a/1018905/659499. Ключевая идея - единичный шар по норме не обладает свойством Бэра в топологии равномерной сходимости на компактах, а с ZF совместно утверждение "все множества относительно этой топологии обладают свойством Бэра".