artempalkinАксиома выбора нужна даже для очень простых вещей в линейном пространстве, без всяких дополнительных структур. Например, аксиома выбора следует из теоремы о том, что всякая система линейно независимых векторов может быть дополнена до базиса, и наоборот, всякая система такая, что пространство является ее линейной оболочкой, может быть обрезана до базиса. Причем это полная аксиома выбора, а не какое-то ослабление вроде аксиомы счетного выбора. См. Halpern J.D. Bases in vector spaces and the axiom of choice // Proc. Amer. Math. Soc. 17 (1966), 670-673 (
файл pdf). А раз аксиома выбора следует из этой теоремы, то теорема не может быть доказана без нее.
Я сугубый дилетант, но все же скажу: если Ваша цель - глубже изучить линейную алгебру, то на время выкиньте из головы всю эту конструктивность, она только отвлекает и запутывает. Знание, как понятия линейной алгебры формализуются в теории множеств, никак не поможет решать задачи или осваивать новые конструкции. Тем более что эта формализация не всегда тривиальна: обратите внимание, что вышеупомянутый результат получен только в 1966 г.
Конечно, если Вы уже знаете линейную алгебру в удовлетворяющем Вас объеме и Вас интересуют именно ее основания, тогда другое дело. Основания - законная ветвь математики, правда, весьма специфическая и далекая от всего остального.
