Первый замечательный предел

[пианист]

drzewo
А, понятно, спасибо.
Ну да, не бессмысленные. Только это же ведь первый семестр, вполне достаточно интуитивной понятности. Позже, когда и если потребуется, разберутся.

[avhohlov]

vpb
Тем не менее, в статье Любича есть доказательство. Я ее точно видел раньше, но не понял.Возможно, она переусложнена.

В статье вводится понятие "скейлинга" и используется понятие выпуклой (вниз) функции. Направление выпуклости не указано словами, я был уверен, что синус при малых положительных аргументах есть функция выпуклая. Путаница со знаками в формулах (7) и (11) имеет место быть.

Из выпуклости и нулевого значения в нуле следует монотонность:

$$\sin(\lambda x_2) > \lambda \sin(x_2), \lambda < 1$$

Заменяя $\lambda x_2$ на $x_1$ получим

$$\sin(x_1) > (x_1 / x_2) \sin(x_2), 0 < x_1 < x_2$$

т.е.

$$\sin(x_1) / x_1 > \sin(x_2) / x_2, 0 < x_1 < x_2$$

Сама же выпуклость следует из непрерывности синуса и формулы для синуса суммы углов.

[vpb]

avhohlov
Сейчас у меня мало времени, но вскоре, надеюсь, я по данной теме напишу кое-что поподробнее.