2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение06.03.2025, 17:08 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


03/06/08
2411
МО
drzewo
А, понятно, спасибо.
Ну да, не бессмысленные. Только это же ведь первый семестр, вполне достаточно интуитивной понятности. Позже, когда и если потребуется, разберутся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение10.03.2025, 18:58 


02/03/25
7
vpb
Тем не менее, в статье Любича есть доказательство. Я ее точно видел раньше, но не понял.Возможно, она переусложнена.

В статье вводится понятие "скейлинга" и используется понятие выпуклой (вниз) функции. Направление выпуклости не указано словами, я был уверен, что синус при малых положительных аргументах есть функция выпуклая. Путаница со знаками в формулах (7) и (11) имеет место быть.

Из выпуклости и нулевого значения в нуле следует монотонность:
$$\sin(\lambda x_2) > \lambda \sin(x_2), \lambda < 1$$
Заменяя $\lambda x_2$ на $x_1$ получим
$$\sin(x_1) > (x_1 / x_2) \sin(x_2), 0 < x_1 < x_2$$т.е.$$\sin(x_1) / x_1 > \sin(x_2) / x_2, 0 < x_1 < x_2$$

Сама же выпуклость следует из непрерывности синуса и формулы для синуса суммы углов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Первый замечательный предел
Сообщение12.03.2025, 02:14 
Заслуженный участник


18/01/15
3312
avhohlov
Сейчас у меня мало времени, но вскоре, надеюсь, я по данной теме напишу кое-что поподробнее.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: andreiandrei


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group