2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 12:06 


09/11/12
239
Донецк
Существует ли последовательность $f_n:D\rightarrow {\Bbb C}$ аналитических в некоторой ограниченной области $D\subset {\Bbb C}$ функций, обладающих следующими свойствами: 1) $f_n$ сходится локально равномерно (= равномерно на любом компакте $C\subset D$) к некоторой функции $f,$ 2) хотя бы для одного континуума (=связного компакта) $C\subset D$ и одного числа $\delta>0$ выполнено ${\rm diam\,}f_n(C)\geqslant \delta$ при всех $n\in {\Bbb N},$ 3) никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не сходится равномерно в области $D$ к функции $f?$

Если ответ "да", то ещё дополнительный вопрос: существуют ли такие последовательности в (более узком) классе конформных отображений?

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 12:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
Вроде же всегда, если $f$ не постоянна на $D$ и имеет полюс на границе $D$.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 12:49 


09/11/12
239
Донецк
Тогда уточним: пусть это будет равномерно ограниченная последовательность

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 21:50 


09/11/12
239
Донецк
Также хотел бы добавить, что наличие полюса на границе области также, вообще говоря, ничего не дает: последовательность $f_n(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{n}$ в круге $\{|z-1|<1\}$ сходится равномерно к функции $\frac{1}{z}.$ (Впрочем, это несущественно, так как я с самого начала имел в виду именно равномерно ограниченную последовательность). Утверждение просто не доказывается, а контрпримеры просто не строятся

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 22:12 


21/12/16
1352
Evgenii2012 в сообщении #1678080 писал(а):
Существует ли последовательность $f_n:D\rightarrow {\Bbb C}$ аналитических в некоторой ограниченной области $D\subset {\Bbb C}$ функций, обладающих следующими свойствами: 1) $f_n$ сходится локально равномерно (= равномерно на любом компакте $C\subset D$) к некоторой функции $f,$ 2) хотя бы для одного континуума (=связного компакта) $C\subset D$ и одного числа $\delta>0$ выполнено ${\rm diam\,}f_n(C)\geqslant \delta$ при всех $n\in {\Bbb N},$ 3) никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не сходится равномерно в области $D$ к функции $f?$




$f_n(z)=\sum_{k=0}^n z^k,\quad D=\{|z|<1\}$ не подойдет?

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 22:18 


09/11/12
239
Донецк
Не является равномерно ограниченной (см. мой второй пост выше). Хотелось бы равномерно ограниченную последовательность. Если не равномерно ограниченная - вроде да

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 22:19 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9480
Цюрих
А, я что-то сразу не сообразил, что второе условие ничего интересного не делает. Возьмем $f_n(z) = z + z^n$ в единичном круге.

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение11.03.2025, 22:28 


09/11/12
239
Донецк
Большое спасибо за пример, принято! Ну тогда ещё один уточняющий вопрос (он важен, чтобы закрыть тему). Предположим, что есть ещё следующее дополнительное условие 4) кратность последовательности ограничена: $N(f_n, D)\leqslant K=const,$ где $N(f_n, D)=\sup\limits_{y\in {\Bbb C}}N(y, f_n, D)$ и $N(y, f_n, D)={\rm card\,}\{z\in D: y=f_n(z) \}.$ Каков тогда ответ? В частности, можно ли аналогичный пример построить для последовательности гомеоморфизмов $f_n?$

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение12.03.2025, 03:11 


21/12/16
1352
а что Вы в хотите в принципе получить, если не секрет?

 Профиль  
                  
 
 Re: О сходимости последовательности аналитических функций
Сообщение12.03.2025, 09:22 


09/11/12
239
Донецк
drzewo, получить ответ на вопрос: как связана кратность семейства отображений с одной стороны со связью между локально равномерной сходимостью и равномерной сходимостью этого семейства с другой стороны. Пока что я предложил ограничиться классами аналитических функций и конформных отображений. Ещё вчера mihaild помог разобраться с одним из случаев: был построен контрпример, указывающий, что вообще говоря, никакой связи между этими объектами нет. Однако, предложенный им пример семейства имеет неограниченную кратность (я бы сказал, что это очень специфический случай). Возможно, что когда семейство имеет ограниченную кратность, такая связь и будет - это следует установить, либо опровергнуть

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group