О сходимости последовательности аналитических функций

[Evgenii2012]

Существует ли последовательность $f_n:D\rightarrow {\Bbb C}$ аналитических в некоторой ограниченной области $D\subset {\Bbb C}$ функций, обладающих следующими свойствами: 1) $f_n$ сходится локально равномерно (= равномерно на любом компакте $C\subset D$) к некоторой функции $f,$ 2) хотя бы для одного континуума (=связного компакта) $C\subset D$ и одного числа $\delta>0$ выполнено ${\rm diam\,}f_n(C)\geqslant \delta$ при всех $n\in {\Bbb N},$ 3) никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не сходится равномерно в области $D$ к функции $f?$

Если ответ "да", то ещё дополнительный вопрос: существуют ли такие последовательности в (более узком) классе конформных отображений?

[mihaild]

Вроде же всегда, если $f$ не постоянна на $D$ и имеет полюс на границе $D$.

[Evgenii2012]

Тогда уточним: пусть это будет равномерно ограниченная последовательность

[Evgenii2012]

Также хотел бы добавить, что наличие полюса на границе области также, вообще говоря, ничего не дает: последовательность $f_n(z)=\frac{1}{z}+\frac{1}{n}$ в круге $\{|z-1|<1\}$ сходится равномерно к функции $\frac{1}{z}.$ (Впрочем, это несущественно, так как я с самого начала имел в виду именно равномерно ограниченную последовательность). Утверждение просто не доказывается, а контрпримеры просто не строятся

[drzewo]

Evgenii2012 в сообщении #1678080 писал(а):

Существует ли последовательность $f_n:D\rightarrow {\Bbb C}$ аналитических в некоторой ограниченной области $D\subset {\Bbb C}$ функций, обладающих следующими свойствами: 1) $f_n$ сходится локально равномерно (= равномерно на любом компакте $C\subset D$) к некоторой функции $f,$ 2) хотя бы для одного континуума (=связного компакта) $C\subset D$ и одного числа $\delta>0$ выполнено ${\rm diam\,}f_n(C)\geqslant \delta$ при всех $n\in {\Bbb N},$ 3) никакая подпоследовательность $f_{n_k}$ не сходится равномерно в области $D$ к функции $f?$

$f_n(z)=\sum_{k=0}^n z^k,\quad D=\{|z|<1\}$ не подойдет?

[Evgenii2012]

Не является равномерно ограниченной (см. мой второй пост выше). Хотелось бы равномерно ограниченную последовательность. Если не равномерно ограниченная - вроде да

[mihaild]

А, я что-то сразу не сообразил, что второе условие ничего интересного не делает. Возьмем $f_n(z) = z + z^n$ в единичном круге.

[Evgenii2012]

Большое спасибо за пример, принято! Ну тогда ещё один уточняющий вопрос (он важен, чтобы закрыть тему). Предположим, что есть ещё следующее дополнительное условие 4) кратность последовательности ограничена: $N(f_n, D)\leqslant K=const,$ где $N(f_n, D)=\sup\limits_{y\in {\Bbb C}}N(y, f_n, D)$ и $N(y, f_n, D)={\rm card\,}\{z\in D: y=f_n(z) \}.$ Каков тогда ответ? В частности, можно ли аналогичный пример построить для последовательности гомеоморфизмов $f_n?$

[drzewo]

а что Вы в хотите в принципе получить, если не секрет?

[Evgenii2012]

drzewo, получить ответ на вопрос: как связана кратность семейства отображений с одной стороны со связью между локально равномерной сходимостью и равномерной сходимостью этого семейства с другой стороны. Пока что я предложил ограничиться классами аналитических функций и конформных отображений. Ещё вчера mihaild помог разобраться с одним из случаев: был построен контрпример, указывающий, что вообще говоря, никакой связи между этими объектами нет. Однако, предложенный им пример семейства имеет неограниченную кратность (я бы сказал, что это очень специфический случай). Возможно, что когда семейство имеет ограниченную кратность, такая связь и будет - это следует установить, либо опровергнуть