Найти множество достижимости системы ДУ

[Yuri Matveev]

Требуется решить следующую задачу.

Дана управляемая система ДУ:
$ \left\{ \begin{array}{rcl} \dot{x}_1=x_2 + 5 u(t) \\ \dot{x}_2=-x_1 +u(t) \\ \end{array} \right.$

$x_1(0)=0,\; x_2(0)=0,\; \left\lvert u(t) \right\rvert \leqslant 1$

Для времен $t=1,2,3$ требуется найти множество достижимости системы (т.е. все такие точки фазовой плоскости, которые можно достичь за данное время при заданных ограничениях на управление).

[drzewo]

может для начала общее решение выписать:)

-- 11.03.2025, 00:16 --

в полярных координатах

[Yuri Matveev]

Удалось победить проблему...

С помощью обратного преобразования Лапласа находим:
$\exp(At)=\mathcal{L}^{-1}\left\lbrace (s E - A)^{-1}\right\rbrace = \begin{bmatrix} \cos(t) & \sin(t)\\ -\sin(t) & \cos(t)\\ \end{bmatrix}$

Тогда...
$x(T) = \int\limits_{0}^{T}\exp(A(T-\tau))\begin{bmatrix}5\\ 1\\ \end{bmatrix} u(\tau)\;d\tau=\int\limits_{0}^{T}\begin{bmatrix} \cos(T-\tau) & \sin(T-\tau)\\ -\sin(T-\tau) & \cos(T-\tau)\\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix}5\\ 1\\ \end{bmatrix} u(\tau)\;d\tau$

Дальше берем единичный радиус-вектор $c$, направленный под углом $\theta$ к оси $x_1$ $c = \begin{bmatrix}\cos(\theta)\\ \sin(\theta)\\ \end{bmatrix}$

Условие максимальности проекции $c^T x(T)$ на этот радиус-вектор является условием нахождения $x(T)$ на границе множества достижимости в данном направлении (определяемом углом $\theta$). Это как бы такой ключевой момент. Простенький, но ключевой. Далее все просто идет.

Тогда...
$ \max\limits_{\left\lvert u \right\rvert \leqslant 1} c^T x(T) = \max\limits_{\left\lvert u \right\rvert \leqslant 1} \int\limits_{0}^{T}c^T \exp(A(T-\tau))\begin{bmatrix}5\\ 1\\ \end{bmatrix} u(\tau)\;d\tau \Rightarrow$

и...
$u_{opt}(t) = \arg\max\limits_{\left\lvert u \right\rvert \leqslant 1} c^T x(T)= \mathsf{sgn}(5 \cos(\theta + T - t)+\sin(\theta + T - t))$

Подставляем $u_{opt}(t)$ в исходное выражение: $x(T) = \int\limits_{0}^{T}\exp(A(T-\tau))\begin{bmatrix}5\\ 1\\ \end{bmatrix} u_{opt}(\tau)\;d\tau $

И для разных $\theta$ получаем координаты точек границы. Строим.