Итеративные процессы с треугольниками

[denny]

В процессе возни с Геогеброй появилась пара интересных наблюдений.
Рассмотрим для данного треугольника треугольник трёх внешних биссектрис (ТТВБ),
образованный точками пересечения внешних биссектрис друг с другом (в центрах вневписанных окружностей исходного треугольника).
Проведем итеративный процесс — начав с некоторого (синего) треугольника,
будем строить ТТВБ для каждого последующего.





Экспериментально выясняется, что с ходом итераций получаются треугольники,
все более похожие на правильные, каким бы «неправильным» не был исходный.
Происходит что-то вроде сглаживания.
Вопрос — можно ли как-то это показать количественно?

У данной операции есть обращение — ортотреугольник(ОТ),
вершины которого являются основаниями высот исходного треугольник.
Проведем такой же процесс для итераций ортотреугольников.
Мы увидим, что и эффект сглаживания также обращается — получается сильная зависимость от начальных условий.
Если в Геогебре принудительно построить правильный треугольник,
то итерации ОТ дают примитивную вложенную картину.



Но стоит хоть немного сдвинуть одну из вершин, и получаются странные неправильные конструкции,
сильно чувствительные к форме начальной фигуры.





Хотелось бы и здесь получить какие-то количественные оценки.
Тем более что СЗНУ может порождать стохастичность. Может удастся получить что-то интересное?

[dgwuqtj]

Если у треугольника были углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, то углы треугольника внешних биссектрис — это $\frac {\beta + \gamma} 2$, $\frac {\alpha + \gamma} 2$, $\frac {\alpha + \beta} 2$. Это линейное преобразование с собственными числами $-\frac 1 2$, $-\frac 1 2$, $1$, причём раз матрица симметричная вещественная, то его ЖНФ — диагональная матрица.

С ортотреугольником есть некая проблема, что если преобразовывать углы в обратную сторону линейно, то они могут стать отрицательными или больше $\pi$, и это надо правильно интерпретировать.

[denny]

dgwuqtj в сообщении #1677760 писал(а):

Если у треугольника были углы $\alpha$, $\beta$, $\gamma$, то углы треугольника внешних биссектрис — это $\frac {\beta + \gamma} 2$, $\frac {\alpha + \gamma} 2$, $\frac {\alpha + \beta} 2$. Это линейное преобразование с собственными числами $-\frac 1 2$, $-\frac 1 2$, $1$, причём раз матрица симметричная вещественная, то его ЖНФ — диагональная матрица.

С ортотреугольником есть некая проблема, что если преобразовывать углы в обратную сторону линейно, то они могут стать отрицательными или больше $\pi$, и это надо правильно интерпретировать.

Да, благодарю! По ТТВБ все ясно. Можно сказать, получилась задачка интересная и однозначная.
А вот с ОТ все непросто, согласен. Преобразование однозначно обратимо,
если все возникающие в процессе итераций треугольники - остроугольные.
В противном случае непонятно. Не могу сформулировать.
Особой противоречивости нет, но.. Буду ждать еще ответы!

[denny]

Нашел нужные алгоритмы. Итак, пусть у исходного треугольника углы $A, B, C$

1. Если один из углов равен $\pi/2$, то у ортотреугольника углы будут те же.
2. Если есть угол больше $\pi/2$, пусть это $A$, то получатся углы $2 A - \pi, 2 B, 2 C$
3. Если исходный треугольник остроугольный, то получатся углы $\pi-2A, \pi-2B, \pi-2C$

Первый вопрос, конечно, можно ли написать замкнутую формулу.
И по результатам итераций. Если исходный треугольник не правильный и не прямоугольный,
получается типичная картина (здесь $10000$ итераций, координаты точки суть углы последовательных итераций)



Думаю, это стохастичность (?)

[denny]

Прошу прощения, ситуация с прямоугольным треугольником оказалась сложнее,
жаль, что нельзя исправить сообщение.
Формально ортотреугольник у прямоугольного вырожденный, это отрезок.
Можно считать, что с углами $0, 2 B, 2 C$.
Поскольку в ходе итераций точный прямоугольный треугольник никогда не получается,
общий вывод остается без изменений.

[denny]

Разобрался сам, здесь продолжение.