Топология на касательных пространствах

[ElfDante]

Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с топологией в касательных пространствах к многообразиям.

1) Вводится ли какая-то топология на касательном пространстве к многообразию? Или это просто векторное пространство, в котором замена (голономного) базиса согласована с выбором координат?

2) Вводится ли топология в алгебре ли к группе Ли? Я постоянно вижу слова, что экспоненциальное отображение переводит окрестность нуля в алгебре Ли в окрестность единицы в группе Ли. Оправданием этому служит тот факт, что дифференциал экспоненциального отображения является тождественным в нуле, а, следовательно, локальным диффеоморфизмом. Но что вообще такое окрестность единицы в линейном пространстве?

[drzewo]

Касательное пространство это конечномерное векторное пространство. Все локально выпуклые топологии в таком пространстве эквивалентны. Т.е. смысла в Вашем вопросе немного. А в алгебре Ли группы Ли вводится известная Вам бинарная алгебраическая операция, которая согласована со структурой группы Ли

[dgwuqtj]

На любом конечномерном векторном пространстве над $\mathbb R$ существует каноническая топология: единственная хаусдорфова топология, относительно которой операции (сложение векторов и умножение вектора на скаляр) непрерывны. Она же топология покоординатной сходимости (независимо от выбора базиса). Она же евклидова топология относительно любого скалярного произведения.

[Padawan]

На касательном расслоении даже вводится топология. И на касательном пространстве в конкретной точке топология индуцируется из касательного расслоения (топология подпространства) .

[ElfDante]

Спасибо за ответы!

Я правильно понимаю, что мы можем считать произвольное линейное пространство многообразием с одной картой и в качестве координатного гомеоморфизма выбираем тождественное отображение? Это ведь нужно для того, чтобы рассмотреть дифференциал экспоненциального отображения.

[dgwuqtj]

ElfDante в сообщении #1677685 писал(а):

Я правильно понимаю, что мы можем считать произвольное линейное пространство многообразием с одной картой и в качестве координатного гомеоморфизма выбираем тождественное отображение?

Да, гладкая структура там именно такая.