2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 13:30 


31/01/23
34
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с топологией в касательных пространствах к многообразиям.

1) Вводится ли какая-то топология на касательном пространстве к многообразию? Или это просто векторное пространство, в котором замена (голономного) базиса согласована с выбором координат?

2) Вводится ли топология в алгебре ли к группе Ли? Я постоянно вижу слова, что экспоненциальное отображение переводит окрестность нуля в алгебре Ли в окрестность единицы в группе Ли. Оправданием этому служит тот факт, что дифференциал экспоненциального отображения является тождественным в нуле, а, следовательно, локальным диффеоморфизмом. Но что вообще такое окрестность единицы в линейном пространстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 13:51 


21/12/16
1351
Касательное пространство это конечномерное векторное пространство. Все локально выпуклые топологии в таком пространстве эквивалентны. Т.е. смысла в Вашем вопросе немного. А в алгебре Ли группы Ли вводится известная Вам бинарная алгебраическая операция, которая согласована со структурой группы Ли

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 13:53 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
На любом конечномерном векторном пространстве над $\mathbb R$ существует каноническая топология: единственная хаусдорфова топология, относительно которой операции (сложение векторов и умножение вектора на скаляр) непрерывны. Она же топология покоординатной сходимости (независимо от выбора базиса). Она же евклидова топология относительно любого скалярного произведения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 17:35 
Заслуженный участник


13/12/05
4660
На касательном расслоении даже вводится топология. И на касательном пространстве в конкретной точке топология индуцируется из касательного расслоения (топология подпространства) .

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 18:24 


31/01/23
34
Спасибо за ответы!

Я правильно понимаю, что мы можем считать произвольное линейное пространство многообразием с одной картой и в качестве координатного гомеоморфизма выбираем тождественное отображение? Это ведь нужно для того, чтобы рассмотреть дифференциал экспоненциального отображения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 18:45 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
ElfDante в сообщении #1677685 писал(а):
Я правильно понимаю, что мы можем считать произвольное линейное пространство многообразием с одной картой и в качестве координатного гомеоморфизма выбираем тождественное отображение?

Да, гладкая структура там именно такая.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 6 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group