2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 13:30 
Здравствуйте!

Помогите, пожалуйста, разобраться с топологией в касательных пространствах к многообразиям.

1) Вводится ли какая-то топология на касательном пространстве к многообразию? Или это просто векторное пространство, в котором замена (голономного) базиса согласована с выбором координат?

2) Вводится ли топология в алгебре ли к группе Ли? Я постоянно вижу слова, что экспоненциальное отображение переводит окрестность нуля в алгебре Ли в окрестность единицы в группе Ли. Оправданием этому служит тот факт, что дифференциал экспоненциального отображения является тождественным в нуле, а, следовательно, локальным диффеоморфизмом. Но что вообще такое окрестность единицы в линейном пространстве?

 
 
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 13:51 
Касательное пространство это конечномерное векторное пространство. Все локально выпуклые топологии в таком пространстве эквивалентны. Т.е. смысла в Вашем вопросе немного. А в алгебре Ли группы Ли вводится известная Вам бинарная алгебраическая операция, которая согласована со структурой группы Ли

 
 
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 13:53 
На любом конечномерном векторном пространстве над $\mathbb R$ существует каноническая топология: единственная хаусдорфова топология, относительно которой операции (сложение векторов и умножение вектора на скаляр) непрерывны. Она же топология покоординатной сходимости (независимо от выбора базиса). Она же евклидова топология относительно любого скалярного произведения.

 
 
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 17:35 
На касательном расслоении даже вводится топология. И на касательном пространстве в конкретной точке топология индуцируется из касательного расслоения (топология подпространства) .

 
 
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 18:24 
Спасибо за ответы!

Я правильно понимаю, что мы можем считать произвольное линейное пространство многообразием с одной картой и в качестве координатного гомеоморфизма выбираем тождественное отображение? Это ведь нужно для того, чтобы рассмотреть дифференциал экспоненциального отображения.

 
 
 
 Re: Топология на касательных пространствах
Сообщение06.03.2025, 18:45 
ElfDante в сообщении #1677685 писал(а):
Я правильно понимаю, что мы можем считать произвольное линейное пространство многообразием с одной картой и в качестве координатного гомеоморфизма выбираем тождественное отображение?

Да, гладкая структура там именно такая.

 
 
 [ Сообщений: 6 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group