Изоморфизм между циклическими группами

[RIP]

$G$ есть «внутреннее» прямое произведение своих подгрупп $G_1$ и $G_2$ (записывается: $G=G_1\times G_2$), если выполнены два условия:
1) каждый элемент $g\in G$ однозначно представляется в виде $g=g_1g_2$, где $g_1\in G_1$, $g_2\in G_2$ (для двух подгрупп однозначность представления равносильна условию $G_1\cap G_2=\{e\}$);
2) $g_1g_2=g_2g_1$ для любых $g_1\in G_1$, $g_2\in G_2$.
Например, в Вашей задаче $G=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$ в смысле этого определения.

Вообще, любое «внешнее» прямое произведение можно превратить во «внутреннее»: если $G=G_1\times G_2=\{(g_1,g_2)\}$ (внешнее), то $G=H_1\times H_2=\{h_1h_2\}$ (внутреннее), где $H_1=G_1\times\{e_2\}\cong G_1$ и $H_2=\{e_1\}\times G_2\cong G_2$ ($e_i$ — единица $G_i$).
И обратно: если $G=G_1\times G_2=\{g_1g_2\}$, то $G\cong G_1\times G_2=\{(g_1,g_2)\}$ с очевидным изоморфизмом $g_1g_2\leftrightarrow(g_1,g_2)$ (второе условие из определения выше фактически означает сохранение операции).

[Dedekind]

RIP в сообщении #1677514 писал(а):

Например, в Вашей задаче $G=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$ в смысле этого определения.

А, ну то есть Вы тут под символом $\times$ тут понимаете "внутреннее" произведение? Тогда вопросов нет. Просто в задаче под этим символом имелось в виду именно "внешнее" произведение, и я это не уточнил, потому что не знал о существовании других. Прошу прощения:)

-- 05.03.2025, 07:45 --

RIP в сообщении #1677511 писал(а):

Просто «внешнее» и «внутреннее» произведения обозначаются одинаково (хотя формально это разные вещи), но из контекста обычно понятно, какое из них имеется в виду.

А, Вы же об этом уже написали, невнимательно прочитал.

[dgwuqtj]

Это как с дизъюнктным объединением множеств: бывает «внешнее» $X \sqcup Y = X \times \{0\} \cup Y \times \{1\}$, а бывает «внутреннее» $X \sqcup Y = X \cup Y$ при условии $X \cap Y = \varnothing$.

[B@R5uk]

Dedekind в сообщении #1677512 писал(а):

Можете, пожалуйста, привести конкретный пример?

Давайте рассмотрим такую группу:

$$G=\mathrm C_{13}^2=\bigl\langle\;a,\;b\;\bigl|\bigr{}\;a^{13}=b^{13}=[a,\;b]=I\;\bigr\rangle=X\times Y,\qquad X=\bigl\langle\;a\;\bigr\rangle,\qquad Y=\bigl\langle\;b\;\bigr\rangle$$

Элементы произведения подгрупп

$$c\in X\times Y$$

можно рассматривать как пары, а можно как элементы группы G:

$$c=\Bigl(a^k,\;b^l\Bigr)=a^kb^l,\qquad k,\;l\in\overline{0,\;12}$$

потому что между парами и произведением элементов пар есть взаимно однозначное соответствие (которое следует из того, что общий элемент в этих двух множествах ровно один — нейтральный). Поэтому, говоря о произведении подгрупп группы, нет смысла заострять внимание на том, что формально получается новый математический объект. Он всё равно изоморфен некоторой подгруппе.

Вообще, когда речь идёт о произведении подгрупп группы, то обычно имеется в виду общее произведение как множество произведений элементов множеств, где порядок важен, если подгруппа неабелева.

[Dedekind]

RIP, dgwuqtj, B@R5uk спасибо, немного прояснилось.