2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Изоморфизм между циклическими группами
Сообщение05.03.2025, 08:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3834
$G$ есть «внутреннее» прямое произведение своих подгрупп $G_1$ и $G_2$ (записывается: $G=G_1\times G_2$), если выполнены два условия:
1) каждый элемент $g\in G$ однозначно представляется в виде $g=g_1g_2$, где $g_1\in G_1$, $g_2\in G_2$ (для двух подгрупп однозначность представления равносильна условию $G_1\cap G_2=\{e\}$);
2) $g_1g_2=g_2g_1$ для любых $g_1\in G_1$, $g_2\in G_2$.
Например, в Вашей задаче $G=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$ в смысле этого определения.

Вообще, любое «внешнее» прямое произведение можно превратить во «внутреннее»: если $G=G_1\times G_2=\{(g_1,g_2)\}$ (внешнее), то $G=H_1\times H_2=\{h_1h_2\}$ (внутреннее), где $H_1=G_1\times\{e_2\}\cong G_1$ и $H_2=\{e_1\}\times G_2\cong G_2$ ($e_i$ — единица $G_i$).
И обратно: если $G=G_1\times G_2=\{g_1g_2\}$, то $G\cong G_1\times G_2=\{(g_1,g_2)\}$ с очевидным изоморфизмом $g_1g_2\leftrightarrow(g_1,g_2)$ (второе условие из определения выше фактически означает сохранение операции).

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между циклическими группами
Сообщение05.03.2025, 08:43 
Заслуженный участник


23/05/19
1330
RIP в сообщении #1677514 писал(а):
Например, в Вашей задаче $G=\langle a\rangle\times\langle b\rangle$ в смысле этого определения.

А, ну то есть Вы тут под символом $\times$ тут понимаете "внутреннее" произведение? Тогда вопросов нет. Просто в задаче под этим символом имелось в виду именно "внешнее" произведение, и я это не уточнил, потому что не знал о существовании других. Прошу прощения:)

-- 05.03.2025, 07:45 --

RIP в сообщении #1677511 писал(а):
Просто «внешнее» и «внутреннее» произведения обозначаются одинаково (хотя формально это разные вещи), но из контекста обычно понятно, какое из них имеется в виду.

А, Вы же об этом уже написали, невнимательно прочитал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между циклическими группами
Сообщение05.03.2025, 11:13 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
Это как с дизъюнктным объединением множеств: бывает «внешнее» $X \sqcup Y = X \times \{0\} \cup Y \times \{1\}$, а бывает «внутреннее» $X \sqcup Y = X \cup Y$ при условии $X \cap Y = \varnothing$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между циклическими группами
Сообщение05.03.2025, 15:50 
Аватара пользователя


26/05/12
1780
приходит весна?
Dedekind в сообщении #1677512 писал(а):
Можете, пожалуйста, привести конкретный пример?
Давайте рассмотрим такую группу: $$G=\mathrm C_{13}^2=\bigl\langle\;a,\;b\;\bigl|\bigr{}\;a^{13}=b^{13}=[a,\;b]=I\;\bigr\rangle=X\times Y,\qquad X=\bigl\langle\;a\;\bigr\rangle,\qquad Y=\bigl\langle\;b\;\bigr\rangle$$ Элементы произведения подгрупп $$c\in X\times Y$$ можно рассматривать как пары, а можно как элементы группы G: $$c=\Bigl(a^k,\;b^l\Bigr)=a^kb^l,\qquad k,\;l\in\overline{0,\;12}$$ потому что между парами и произведением элементов пар есть взаимно однозначное соответствие (которое следует из того, что общий элемент в этих двух множествах ровно один — нейтральный). Поэтому, говоря о произведении подгрупп группы, нет смысла заострять внимание на том, что формально получается новый математический объект. Он всё равно изоморфен некоторой подгруппе.

Вообще, когда речь идёт о произведении подгрупп группы, то обычно имеется в виду общее произведение как множество произведений элементов множеств, где порядок важен, если подгруппа неабелева.

 Профиль  
                  
 
 Re: Изоморфизм между циклическими группами
Сообщение06.03.2025, 11:58 
Заслуженный участник


23/05/19
1330
RIP, dgwuqtj, B@R5uk спасибо, немного прояснилось.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group