2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 21:33 
Аватара пользователя


29/08/19
73
Сходятся ли последовательности $\left\lbrace x_n\right\rbrace$ и $\left\lbrace y_n\right\rbrace$, если $\forall\varepsilon>0 \ \forall p  \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - y_n\right\rvert < \varepsilon $?

Перепишем условие в виде: $\forall\varepsilon>0 \ \forall p  \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - y_n\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$

Если неравенство справедливо для $\forall p$, то оно справедливо и для $p = 1$ $\forall\varepsilon>0 \ p = 1 \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+1} - y_n\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$

Тогда $\forall\varepsilon>0 \ \forall p  \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - x_{n+1} \right\rvert < \varepsilon$

А вот показать, что $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ фундаментальна, не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 21:39 
Заслуженный участник


07/08/23
1428
Попробуйте сделать замену $d_n = x_{n + 1} - x_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 22:38 


04/06/24
288
А что будет, если взять $x_n=y_n=1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\dots+\frac 1 n$?
Как там у вас в учебнике, если последовательность стремится к бесконечности, считается ли она сходящейся?
Скажем, по одному из самых распространённых учебников - Ильину, Позняку, такая последовательность сходящейся не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 22:54 
Аватара пользователя


29/08/19
73
skobar в сообщении #1677329 писал(а):
А что будет, если взять $x_n=y_n=1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\dots+\frac 1 n$?
Как там у вас в учебнике, если последовательность стремится к бесконечности, считается ли она сходящейся?
Скажем, по одному из самых распространённых учебников - Ильину, Позняку, такая последовательность сходящейся не является.

Ага, понятно. Спасибо! Не ожидал, что эти последовательности и расходиться могут, сложновато было представить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 22:57 


04/06/24
288
Gecko в сообщении #1677331 писал(а):
Ага, понятно. Спасибо! Не ожидал, что эти последовательности и расходиться могут, сложновато было представить.

Переставляете пару кванторов местами - и все, последовательность уже перестает быть последовательностью Коши.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: HungryLion, teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group