2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему
 
 Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 21:33 
Аватара пользователя


29/08/19
73
Сходятся ли последовательности $\left\lbrace x_n\right\rbrace$ и $\left\lbrace y_n\right\rbrace$, если $\forall\varepsilon>0 \ \forall p  \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - y_n\right\rvert < \varepsilon $?

Перепишем условие в виде: $\forall\varepsilon>0 \ \forall p  \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - y_n\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$

Если неравенство справедливо для $\forall p$, то оно справедливо и для $p = 1$ $\forall\varepsilon>0 \ p = 1 \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+1} - y_n\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$

Тогда $\forall\varepsilon>0 \ \forall p  \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - x_{n+1} \right\rvert < \varepsilon$

А вот показать, что $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ фундаментальна, не получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 21:39 
Заслуженный участник


07/08/23
1394
Попробуйте сделать замену $d_n = x_{n + 1} - x_n$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 22:38 


04/06/24
264
А что будет, если взять $x_n=y_n=1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\dots+\frac 1 n$?
Как там у вас в учебнике, если последовательность стремится к бесконечности, считается ли она сходящейся?
Скажем, по одному из самых распространённых учебников - Ильину, Позняку, такая последовательность сходящейся не является.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 22:54 
Аватара пользователя


29/08/19
73
skobar в сообщении #1677329 писал(а):
А что будет, если взять $x_n=y_n=1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\dots+\frac 1 n$?
Как там у вас в учебнике, если последовательность стремится к бесконечности, считается ли она сходящейся?
Скажем, по одному из самых распространённых учебников - Ильину, Позняку, такая последовательность сходящейся не является.

Ага, понятно. Спасибо! Не ожидал, что эти последовательности и расходиться могут, сложновато было представить.

 Профиль  
                  
 
 Re: Сходимость последовательностей
Сообщение03.03.2025, 22:57 


04/06/24
264
Gecko в сообщении #1677331 писал(а):
Ага, понятно. Спасибо! Не ожидал, что эти последовательности и расходиться могут, сложновато было представить.

Переставляете пару кванторов местами - и все, последовательность уже перестает быть последовательностью Коши.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 5 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group