Сходимость последовательностей

[Gecko]

Сходятся ли последовательности $\left\lbrace x_n\right\rbrace$ и $\left\lbrace y_n\right\rbrace$, если $\forall\varepsilon>0 \ \forall p \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - y_n\right\rvert < \varepsilon $?

Перепишем условие в виде: $\forall\varepsilon>0 \ \forall p \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - y_n\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$

Если неравенство справедливо для $\forall p$, то оно справедливо и для $p = 1$ $\forall\varepsilon>0 \ p = 1 \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+1} - y_n\right\rvert < \frac{\varepsilon}{2}$

Тогда $\forall\varepsilon>0 \ \forall p \in \mathbb{N} \ \exists N\in\mathbb{N}: n \geqslant N \ \left\lvert x_{n+p} - x_{n+1} \right\rvert < \varepsilon$

А вот показать, что $\left\lbrace x_n \right\rbrace$ фундаментальна, не получается.

[dgwuqtj]

Попробуйте сделать замену $d_n = x_{n + 1} - x_n$.

[skobar]

А что будет, если взять $x_n=y_n=1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\dots+\frac 1 n$?
Как там у вас в учебнике, если последовательность стремится к бесконечности, считается ли она сходящейся?
Скажем, по одному из самых распространённых учебников - Ильину, Позняку, такая последовательность сходящейся не является.

[Gecko]

skobar в сообщении #1677329 писал(а):

А что будет, если взять $x_n=y_n=1+\frac 1 2 +\frac 1 3+\dots+\frac 1 n$?
Как там у вас в учебнике, если последовательность стремится к бесконечности, считается ли она сходящейся?
Скажем, по одному из самых распространённых учебников - Ильину, Позняку, такая последовательность сходящейся не является.

Ага, понятно. Спасибо! Не ожидал, что эти последовательности и расходиться могут, сложновато было представить.

[skobar]

Gecko в сообщении #1677331 писал(а):

Ага, понятно. Спасибо! Не ожидал, что эти последовательности и расходиться могут, сложновато было представить.

Переставляете пару кванторов местами - и все, последовательность уже перестает быть последовательностью Коши.