Симметричные кортежи из последовательных простых чисел

[Yadryara]

Evgeniy101 в сообщении #1677135 писал(а):

Я же полагал, что одной обойтись надо.

Почему одной? Вы разрешённые остатки нашли? Для такого простого паттерна это же в уме делается:

по модулю 2 — 1;
по модулю 3 — 2;
по модулю 5 — все кроме 0 и 3;
по модулю 7 — все кроме 0 и 5.

Итого, произведение количеств остатков

$1\cdot1\cdot3\cdot5 = 15$

Вопросы?

[Yadryara]

Ответа пока нет. Evgeniy101, всё-таки интересно, откуда берутся такие идеи?

Вы разве не знаете, что близнецов полным-полно, особенно в начале числового ряда? И как их все можно перекрыть одной-единственной формулой в первых двух сотнях???

A001359

Сначала идут уже найденные в уме пары близнецов начинающиеся с 3 и 5. Затем 13 пар, начинающиеся вот с этих чисел:

   11   17   29   41   59
   71  101  107  137  149
  179  191  197

Следующая пара начинается уже с числа, которое больше периода 210, а именно 227.

Я уже подробно показывал выше как получать остатки для формул. Перебором.

Но это конечно не единственный способ. Можно для 15 формул взять эти 13 чисел и подумать какими могут быть ещё 2 числа.

Очевидно, что это минус единица. То бишь 209. По той простой причине, что есть такой разрешённый остаток для всех модулей, который на единицу меньше самого модуля.

Итак, 14 формул нам известно. Найдите недостающую.

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1677149 писал(а):

И как их все можно перекрыть одной-единственной формулой в первых двух сотнях???

Кортежи по любому паттерну из чётных чисел можно перекрыть одной формулой $2n+1$. Только толку от этого ... Как и от одной формулы $6n-1$ для простых близнецов ...
Понятно что Вы про другое.

Yadryara в сообщении #1677149 писал(а):

По той простой причине, что есть такой разрешённый остаток для всех модулей, который на единицу меньше самого модуля.

Только для обсуждаемого паттерна. А то можно подумать что это справедливо для любых паттернов - но нет.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1677151 писал(а):

Понятно что Вы про другое.

Да, конечно, я про заявленный самим человеком период 210, а вовсе не про периоды 2 и 6.

Но на вопрос-то у Вас, похоже, нет ответа. Как может прийти в голову, что одной формулой можно перекрыть все кортежи от 0 до 210 ???

Неужто опять будет молчание в ответ. То есть человек генерит идеи и ухитряется не понимать, что они абсурдны. Может что-то забыл? Но что?

[Dmitriy40]

На это у меня тоже нет ответов.
Непонимание чего-то явно глубоко внутри и прорывается в совершенно неожиданных местах и идеях.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677149 писал(а):

Evgeniy101, всё-таки интересно, откуда берутся такие идеи?

Я прикоснулся к паттернам, выйдя из кортежей, хоть и с ними недавно познакомился, вот от кортежей и идеи.

1. Исходил из того, что имея кортеж (5,7) +6n, где n - натуральное число, (а (3,5) по другой формуле с шагом 2), и шагая по 2х3=6 имеем возможность получить абсолютно все пары близнецов.

Есть высказывание, что это не интересно из-за малости. Но малость снимается вот чем:
2. Берем все близнецы по формуле из п.1. до следующего праймориала 2х3х5=30, исключая теперь уже пятерку по известным причинам, (11,13, 17,19, 29,31) + 30n, имеем возможность получить абсолютно все пары близнецов.
3. Так можно продолжать до любого праймориала, например:
(11,13, 17,19, 29,31, 41,43, 59,61, 71,73, 101,103, 107,109, 137,139, 149,151, 179,181, 191,193, 197,199) + 210n - те самые 13 пар. Представить это можно и только младшими числами (11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 179 191 197) + 210n. Имеем возможность получить абсолютно все пары близнецов.

Вот так я видел представление поиска подходящих кортежей одной формулой.

[Yadryara]

Ну то есть опять на разных языках говорим об одном и том же. Вы вместо "период" говорите "шаг".

Evgeniy101 в сообщении #1677165 писал(а):

1. Исходил из того, что имея кортеж (5,7) +6n, где n - натуральное число,

И это ровно то же самое, что сказать: на периоде 6 имеется ровно одна формула:

$5 + 6n$

И ровно то же самое, что сказал Дмитрий:

Dmitriy40 в сообщении #1677151 писал(а):

Как и от одной формулы $6n-1$ для простых близнецов ...

Только для формулы Дмитрия нужно стартовать не с $n=0$, а с $n=1$.

Кто во что горазд. Неужели Вы не видите, что это одна и та же формула, трижды записанная по-разному?

И по-прежнему количество формул для периода равно произведению количеств разрешённых остатков для всех простых, которыми этот период определяется:

Для периода 2# — 1 формула;
Для периода 3# — 1 формула — $1\cdot1$;
Для периода 5# — 3 формулы — $1\cdot1\cdot3$;
Для периода 7# — 15 формул — $1\cdot1\cdot3\cdot5$;
Для периода 11# — 135 формул — $1\cdot1\cdot3\cdot5\cdot9$;
...

Evgeniy101 в сообщении #1677165 писал(а):

(11,13, 17,19, 29,31) + 30n,

И отсюда сразу видны те самые 3 формулы на периоде 5#:

$11 + 30n$

$17 + 30n$

$29 + 30n$

Теперь, в качестве подтверждения того, что Вы правильно поняли, прошу написать 15 формул для периода 210.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677169 писал(а):

Теперь, в качестве подтверждения того, что Вы правильно поняли, прошу написать 15 формул для периода 210.

Поскольку период 210 кратен 3 и 5, постольку кортежи (3,5) и (5,7) не могут входить в расчеты всех иных.
Остальные 13 представим в компактном виде:

(11 17 29 41 59 71 101 107 137 149 179 191 197) + 210n, где в скобках отображен список.
Конечно, можно расписывать по отдельности:

11 + 210n
17 + 210n
...
197 + 210n
в зависимости от того, как "видит" запись компьютерная программа.

[Yadryara]

Evgeniy101, Вы не прочитали? Я просил 15 чисел, а не 13. К этим 13-ти я добавил ещё число $209$. Назовите же ещё одно число для универсальной формулы $... + 210n$.

[Evgeniy101]

Yadryara в сообщении #1677187 писал(а):

Evgeniy101, Вы не прочитали? Я просил 15 чисел, а не 13. К этим 13-ти я добавил ещё число $209$. Назовите же ещё одно число для универсальной формулы $... + 210n$.

Это мне не понятно.
Вы добавили 11х19=209, т.е. число, которое входило по 29 + 30х6 = 209 и которое в дальнейшем может быть простым с добавкой.
Такие числа есть: (121,143, 169, 187) + 210n.

Это ли?

[Yadryara]

Зачем Вы множите сущности без необходимости??

Есть список разрешённых остатков:

Yadryara в сообщении #1677136 писал(а):

по модулю 2 — 1;
по модулю 3 — 2;
по модулю 5 — все кроме 0 и 3;
по модулю 7 — все кроме 0 и 5.

В интервале 0-210 чисел с такими остатками ровным счётом 15. Найдите их все. Как искать, я показывал.

[Dmitriy40]

Evgeniy101 в сообщении #1677193 писал(а):

Такие числа есть: (121,143, 169, 187) + 210n.

Числа 121,169,187 запрещены по модулю 3, число 143 запрещено по модулю 5.

(Другой вариант поиска формул)

Yadryara
Мне кажется зря Вы начали про простые числа, для формул они не нужны, полезнее понятие НОД (делимости).

Evgeniy101
Чтобы найти формулы по паттерну [0,2], надо перебрать все числа 0-209 (от нуля до 7#=210 не включая) и оставить из них лишь те $x$, которые удовлетворяют одновременно двум условиям:
$(x)$ не делится на 2,3,5,7 (коротко это можно записать так НОД(x, 210)=1);
$(x+2)$ тоже не делится на 2,3,5,7 (коротко это можно записать так НОД(x+2, 210)=1).
Никакого условия простоты чисел тут НЕТ!
Таких чисел ровно 15.

Для других паттернов условий будет ровно столько сколько чисел в паттерне. И во всех условиях в НОД будет период (общий модуль, в частности праймориал).

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1677197 писал(а):

Мне кажется зря Вы начали про простые числа,

Что я начал про простые числа?

[Dmitriy40]

Yadryara в сообщении #1677207 писал(а):

Что я начал про простые числа?

Пытаться через них получать формулы:

Yadryara в сообщении #1677149 писал(а):

Сначала идут уже найденные в уме пары близнецов начинающиеся с 3 и 5. Затем 13 пар, начинающиеся вот с этих чисел:

   11   17   29   41   59
   71  101  107  137  149
  179  191  197

Следующая пара начинается уже с числа, которое больше периода 210, а именно 227.

И тем более начинать с 0, а не с самого периода/модуля (210-419) или даже ещё дальше.
Понятие простоты чисел (и простых близнецов) скорее запутывает чем помогает, ИМХО.
Гораздо проще и понятнее взять список чисел 0-209 (до периода/модуля), вычеркнуть все кратные 2,3,5,7, потом вычеркнуть все которые увеличенные на 2 кратны 2,3,5,7. Останутся 15 искомых чисел. Практически решето Эратосфена, только ограниченное лишь 7. И работает для любых паттернов и взаимно простых модулей.

[Yadryara]

Dmitriy40 в сообщении #1677218 писал(а):

И тем более начинать с 0, а не с самого периода/модуля (210-419) или даже ещё дальше.

Dmitriy40 в сообщении #1677218 писал(а):

Гораздо проще и понятнее взять список чисел 0-209

А если проще и понятнее взять список чисел 0-209, то зачем Вы вообще упоминаете 210-419 ?

Dmitriy40 в сообщении #1677218 писал(а):

Гораздо проще и понятнее взять список чисел 0-209 (до периода/модуля), вычеркнуть все кратные 2,3,5,7, потом вычеркнуть все которые увеличенные на 2 кратны 2,3,5,7. Останутся 15 искомых чисел.

Но тогда человеку может стать непонятно, а зачем мы вообще считали разрешённые остатки.