Частица в потенциальной яме

[Asya11]

Здравствуйте. Помогите разобраться с энергиями. Энергия частицы в потенциальной яме $E=\frac{{n^2}\cdot \pi^2\cdot{h^2}}{{2\cdot{m}\cdot{l^2}}}$ . Электрон в поле ядра, как пример частицы в потенциальной яме и получается по этой формуле, что чем дальше от ядра, тем энергии нужно больше. А больше для чего?
А по формуле:
$E=-\frac{1}{n^2}\cdot{\frac{Z^2\cdot{m}\cdot{e^4}}{8\cdot{h^2}\cdot{{e_0}^2}}}$
получается, что чем дальше электрон от ядра, тем меньше ему нужно энергии, чтобы оторваться от ядра.
За что "отвечает" энергия из первой формулы (прямо пропорциональна n) и за что "отвечает" энергия из второй формулы (обратно пропорциональна n)

[DimaM]

Asya11 в сообщении #1676829 писал(а):

получается по этой формуле, что чем дальше от ядра, тем энергии нужно больш

Не получается. В этой формуле нет ни "дальше", ни "от ядра".

[Asya11]

А что получается из этой формулы (первой)? Что это за энергия?
Вторая формула для электрона в поле ядра?

[Cos(x-pi/2)]

1. Первая формула не имеет отношения к электрону в поле ядра. Это формула из чисто вспомогательной учебной задачки по квантовой механике - об энергетических уровнях частицы в одномерной потенциальной яме прямоугольной формы с бесконечно высокими стенками. На практике точно таких потенциальных ям не бывает, но зато с такой ямой уравнение Шрёдингера (основное уравнение квантовой механики) решается очень легко.

В этой задаче дно ямы принято за нуль энергии (т.е. начало отсчёта энергии - на дне ямы). Самый нижний доступный частице уровень энергии, первый, получается по этой формуле при $n=1.$ Следующий уровень, второй, более высокий - при $n=2.$ Ну и так далее. Чем больше $n,$ тем выше на шкале энергии лежит уровень энергии. Формула показывает, что в данном примере (т.е. в прямоугольной яме с бесконечно высокими потенциальными стенками) n-ый уровень находится на высоте в $n^2$ раз большей, чем первый уровень.


2. Вторая формула даёт энергетические уровни электрона (имеющего электрический заряд $-e)$ в поле ядра c зарядом $Ze.$ При $Z=1$ речь идёт об электроне в атоме водорода. При $Z=2$ речь идёт о единственном электроне в ионе - в однократно ионизованном двухэлектронном атоме. И т.д. Такая формула строго выводится уже не в лёгонькой учебной, а в очень даже серьёзной, довольно сложной для студентов, задаче из курса квантовой механики.

Если Вы ещё не дошли до серьёзного изучения квантовой механики, то не торопитесь фантазировать. Вам верно ответили: в формуле для энергетических уровней нет явной информации о том, "близко" или "далеко" от ядра находится электрон. Такого рода информацию дают волновые функции электрона, а они бывают разные для уровня энергии с одним и тем же $n>1.$ Чем больше $n,$ тем больше разных волновых функций. Среди них появляются и такие, из которых следует, что вероятность обнаружить электрон "далеко" от ядра может быть не очень-то и малой. Но есть и такие, которые описывают электронное облако вероятности с максимумом "вблизи" ядра. Все эти разные состояния электрона различаются помимо значений числа $n$ ещё и значениями других так называемых квантовых чисел.

Положение уровней на шкале энергии эта формула описывает вот как. Самый нижний уровень получается при $n=1.$ Этот первый уровень лежит ниже нуля примерно на $Z^2 13.6\,\text{эВ}.$ Второй уровень, более высокий, получается при $n=2.$ Он тоже находится ниже нуля, но на величину в $2^2=4$ раза меньшую, чем первый уровень. И так далее: при каждом $n=3,\,4,\,5,\,...\,$ получается уровень, глубина залегания которого под нулём меньше глубины первого уровня в $n^2$ раз.

Состояния электрона с энергией выше нуля (они не описываются этой формулой) в такой задаче соответствуют полностью ионизованному атому: в этих состояниях отлична от нуля вероятность обнаружить электрон сколь угодно далеко от ядра.