Группа вращений куба

[DieselMachine]

Как я понял все согласны с тем, что группа вращений куба это $S_4$. Например, так написано в учебнике Винберга.
Я не понимаю, почему это вообще группа. Если я занумерую вершины куба и сделаю три вращения на 90 градусов относительно оси x, потом y, потом z, то я получу один результат. А если я сделаю три вращения относительно оси y, потом z, потом x, то я получу другой результат. То есть операция вращения неассоциативна.
Если же я не буду нумеровать вершины, то любое вращение будет переводить куб в себя и значит группа вращений должна быть коммутативной, то есть $S_4$ тут не подходит.

[Евгений Машеров]

DieselMachine в сообщении #1676485 писал(а):

То есть операция вращения неассоциативна.

Нет, Вы показали, что она некоммутативна.

[F111mon]

Вот группа вращений куба наглядно.
https://etudes.ru/models/cube-rotation-axis/

[DieselMachine]

F111mon, спасибо, хороший сайт

Евгений Машеров
Разве? Вот есть куб, его вершины находятся в точках $(\pm1, \pm1, \pm1)$. Есть три вращения: $x$ - вокруг оси $x$ против часовой стрелки на 90 градусов. То же самое $y$ и $z$. Берём точку (1, 1, 1). $(x \circ y) \circ z$ переводит её так: (1, 1, 1) -> (1, -1, 1) -> (1, -1, -1) -> (1, 1, -1). $x \circ (y \circ z)$ переводит её так (1, 1, 1) -> (1, 1, -1) -> (-1, 1, -1) -> (-1, 1, 1). Итоговые точки не совпали. Значит $(x \circ y) \circ z \ne $x \circ (y \circ z)$, то есть операция неассоциативна.

[Евгений Машеров]

Распишите через матрицы. Будет видно, где ошиблись.

[Dedekind]

DieselMachine в сообщении #1676503 писал(а):

его вершины находятся в точках $(\pm1, \pm1, \pm1)$

А почему у Вас у куба 6 вершин?
А вообще, Вы неправильно применяете преобразования. $(x \circ y) \circ z$ означает, что сначала нужно применить преобразование $z$, а потом комбинированное $(x \circ y)$. Аналогично, в $x \circ (y \circ z)$, сначала нужно применить комбинированное $(y \circ z)$, а потом $x$. В обоих случаях, результат будет такой, что сначала применяется $z$, потом $y$, потом $x$.

[B@R5uk]

DieselMachine, мне кажется, что вы не очень аккуратно записали ваши преобразования и точки, которые получаются в промежуточных вычислениях. Мне лень выискивать, где именно у вас ошибка, поэтому я приведу мой взгляд на вашу проблему.

Вот вы взяли контрольную вершину куба и смотрите, куда различные движения пространства эту вершину переводят. (Кстати, одной вершины недостаточно, чтобы однозначно задать движение: на сайте с визуализацией выше даже пример приведён с вращением вокруг прямой, проходящей через эту вершину, которое не является тривиальным движением, но оставляет контрольную вершину неподвижной. Но это не важно для рассмотрения ниже). Технически такие действия удобно записывать в виде столбца координат контрольной вершины и матриц операторов движения пространства, которые на этот столбец умножаются спереди. Или же можно это записывать как строки с координатами контрольной вершины, которые умножаются на матрицы операторов сзади. Матрицы операторов при этом будут транспонированы по сравнению с первым случаем.

В независимости от того, какое представление использовать применение трёх операторов к точке будет представлено как произведение трёх матриц операторов и столбца/строки сзади/спереди от них. При этом требование ассоциативности означает, что порядок действий остаётся неизменным. Когда постановка скобок меняет порядок вычислений необходимо посмотреть, какой результирующий оператор получается внутри скобок, а не какой результат получается при действии этих операторов на исходную точку. Просто рассматривая выше, куда ваша исходная точка переходит, вы в принципе не могли этот момент правильно посчитать. Группа — это множество, и элементами этого множества в данном случае являются операторы движения пространства, а не точки, в которые эти операторы переводят контрольную.

В любом случае, ассоциативность операций движения пространства будет следовать из ассоциативности произведения матриц. Некоммутативность тоже будет оттуда же следовать.

[Евгений Машеров]

Мне кажется (но пока Вы не выписали Вашу последовательность действий подробнее, я не уверен), что Вы применяете преобразования не в том порядке. И, в силу некоммутативности, результат различен. Но при правильном выполнении - одинаков.

[lek]

Пронумеруйте 8 вершин куба цифрами от 1 до 4 так, чтобы одинаковые находились на максимальном расстоянии друг от друга (на 4-х диагоналях) и вращайте его. При такой нумерации каждому вращению будет соответствовать подстановка из $S_4$, последовательности вращений - умножение подстановок.

[мат-ламер]

Мне кажется, что группа вращений куба есть группа преобразований (некоего множества). Поэтому она ассоциативна просто потому, что это группа. А то, что группа преобразований есть группа, доказывается в учебниках (можно и самому попробовать доказать). А вот то, что группа вращений куба некоммутативна, нуждается в доказательстве - просто надо привести простейший пример. Это не так уж и очевидно - например, группа вращений квадрата коммутативна.

[DieselMachine]

Так, я разобрался. Матрицы мне помогли.
Моя ошибка заключалась в том, что я взял в руки кубик и вращал. И умножение в этой группе я считал последовательным применением вращений. То есть, если повернуть кубик на 90 градусов относительно оси Ox, а потом на 90 градусов относительно оси Oy, то получается что ты повернул кубик относительно диагонали, проходящей через точки (-1, -1, 1) и (1, 1, -1). Но это не будет результатом умножения моих двух вращений. Результатом умножения будет поворот относительно диагонали, проходящей через точки (1, 1, 1) и (-1, -1, -1).
Вообще, когда читаешь про вращения куба, как например по ссылке, которую дали выше: "любые два последовательно сделанные поворота являются каким-то из уже представленных поворотов." - но это будет не тот поворот, который является произведением поворотов в группе вращения куба. Об этом почему-то не пишут и это сбивает с толку.

[B@R5uk]

Это потому что вторая операция вращения поворачивает ось первой сделанной. Наглядный намёк на некоммутативность группы.

DieselMachine в сообщении #1676530 писал(а):

Но это не будет результатом умножения моих двух вращений.

А вот это уже зависит, как вы задали композицию вращений. При правильной записи всё должно совпадать.

[F111mon]

lek в сообщении #1676526 писал(а):

Пронумеруйте 8 вершин куба цифрами от 1 до 4 так, чтобы одинаковые находились на максимальном расстоянии друг от друга (на 4-х диагоналях) и вращайте его. При такой нумерации каждому вращению будет соответствовать подстановка из $S_4$, последовательности вращений - умножение подстановок.

Или, говоря проще - пронумеруйте диагонали

[lek]

Да, конечно. И кстати, используя подобную нумерацию легко можно доказать изоморфизм группы вращений правильного многогранника с одной из групп подстановок $A_4$, $S_4$ и $A_5$. Достаточно лишь определить последние через систему порождающих элементов и определяющих соотношений, а затем найти такую систему в группе вращений многогранника.

[dgwuqtj]

Можно и без соотношений. Группа вращений куба действует на множестве диагоналей перестановками, причём любая транспозиция диагоналей получается из вращения вокруг оси, проходящей через середины противоположных рёбер. Кроме того, вращений ровно $24$ (количество полных флагов в кубе, поделённое пополам), так что сюръективный гомоморфизм $O \to \mathrm S_4$ взаимно однозначен. Для $I \cong \mathrm A_5$ нумеруют вписанные кубы в додекаэдр, для $T \cong \mathrm A_4$ — сами вершины тетраэдра.