Интеграл

[ShMaxG]

Предложите идеи взятия вот такого интеграла, пока мыслей нет:

\[ {\int\limits_0^{2\pi } {\frac{1} {{\frac{a} {b}\cos ^2 t + \frac{b} {a}\sin ^2 t}}} dt} \]

[Trotil]

Замена $\frac{a}{b}\tg(t)$

[икс и грек]

Числитель и знаменатель разделить на $cos^2t$ и перейти к новой переменной $z=tgt$.

[Someone]

Период подынтегральной функции равен $\pi$, поэтому

$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{dt}{\frac ab\cos^2t+\frac ba\sin^2t}=2\int\limits_0^{\pi}\frac{dt}{\frac ab\cos^2t+\frac ba\sin^2t}$$

А потом применяем подстановку $\ctg t=x$. Правда, получается несобственный интеграл.

[ewert]

Во-первых, а и бэ тут не при чём, речь идёт об $\cos^2t+\gamma\,\sin^2t$ с положительным $\gamma$. Во-вторых, интеграл берётся явно, если в качестве новой переменной взять тангенс. В-третьих (ибо, не исключено, так и было задумано): поскольку интеграл по периоду, можно сосчитать его через вычеты, заменив тригонометрию на комплексные экспоненты.

[Someone]

ewert в сообщении #167565 писал(а):

поскольку интеграл по периоду, можно сосчитать его через вычеты, заменив тригонометрию на комплексные экспоненты.

Да, ShMaxG, если задача у Вас по ТФКП, то нужно подставить $e^{ti}=z$, и получится интеграл по единичной окружности в комплексной плоскости, который вычисляется с помощью вычетов.
Если же это математический анализ, последуйте моему совету. Подстановка с тангенсом при "тупом" применении даст просто неправильный результат. Хотя, постаравшись, можно получить правильный.

[ShMaxG]

Вау, спасибо. Хоть это подразумевалось под матаном, но интеграл по единичной окружности в комплексной области интересней (хоть ни разу этого не делал).