2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Интеграл
Сообщение14.12.2008, 17:26 
Аватара пользователя
Предложите идеи взятия вот такого интеграла, пока мыслей нет:

\[
{\int\limits_0^{2\pi } {\frac{1}
{{\frac{a}
{b}\cos ^2 t + \frac{b}
{a}\sin ^2 t}}} dt}
\]

 
 
 
 
Сообщение14.12.2008, 17:34 
Аватара пользователя
Замена $\frac{a}{b}\tg(t)$

 
 
 
 
Сообщение14.12.2008, 17:34 
Числитель и знаменатель разделить на $cos^2t$ и перейти к новой переменной $z=tgt$.

 
 
 
 
Сообщение14.12.2008, 17:37 
Аватара пользователя
Период подынтегральной функции равен $\pi$, поэтому
$$\int\limits_0^{2\pi}\frac{dt}{\frac ab\cos^2t+\frac ba\sin^2t}=2\int\limits_0^{\pi}\frac{dt}{\frac ab\cos^2t+\frac ba\sin^2t}$$
А потом применяем подстановку $\ctg t=x$. Правда, получается несобственный интеграл.

 
 
 
 
Сообщение14.12.2008, 17:38 
Во-первых, а и бэ тут не при чём, речь идёт об $\cos^2t+\gamma\,\sin^2t$ с положительным $\gamma$. Во-вторых, интеграл берётся явно, если в качестве новой переменной взять тангенс. В-третьих (ибо, не исключено, так и было задумано): поскольку интеграл по периоду, можно сосчитать его через вычеты, заменив тригонометрию на комплексные экспоненты.

 
 
 
 
Сообщение14.12.2008, 17:44 
Аватара пользователя
ewert в сообщении #167565 писал(а):
поскольку интеграл по периоду, можно сосчитать его через вычеты, заменив тригонометрию на комплексные экспоненты.


Да, ShMaxG, если задача у Вас по ТФКП, то нужно подставить $e^{ti}=z$, и получится интеграл по единичной окружности в комплексной плоскости, который вычисляется с помощью вычетов.
Если же это математический анализ, последуйте моему совету. Подстановка с тангенсом при "тупом" применении даст просто неправильный результат. Хотя, постаравшись, можно получить правильный.

 
 
 
 
Сообщение14.12.2008, 18:08 
Аватара пользователя
Вау, спасибо. Хоть это подразумевалось под матаном, но интеграл по единичной окружности в комплексной области интересней :D (хоть ни разу этого не делал).

 
 
 [ Сообщений: 7 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group