ZF(C), PA

[maximk]

dgwuqtj в сообщении #1675754 писал(а):

Ну и в модели ZFC истинность арифметических предложений не определяют. Нужна модель арифметики первого порядка, не теории множеств.

А нестандартные модели PA чем лучше?

[dgwuqtj]

Почему они должны быть лучше? Просто они существуют с разными свойствами, на выбор. А стандартная модель одна.

[maximk]

Просто у ZFC ведь тоже есть "арифметическая" модель. И без "дополнительных" натуральных чисел, кстати, в отличие от некоторых нестандартных PA, как я слышал, если не ошибаюсь.

[dgwuqtj]

Что ещё за "арифметическая" модель ZFC? Во-первых, у ZFC нет стандартной модели в виде множества, на то оно и ZFC. Есть в виде класса, если мы вообще верим, что ZFC описывает какую-то математическую действительность. Во-вторых, модели ZFC (даже являющиеся счётными множествами) — это модели языка теории множеств, с бинарным отношением $\in$, а не арифметики. В-третьих, я что-то не слышал про счётную модель ZFC с вычислимым предикатом $\in$, но тут лучше mihaild подскажет. В-четвёртых, для ZFC вообще не очень понятно, как отличать стандартную модель от нестандартных, в отличие от PA, где стандартная — это просто минимальная по включению.

Можно по каждой модели ZFC построить модель PA, разумеется, просто взяв внутри модели ординал $\omega$ с обычными операциями. Для стандартной модели ZFC будет стандартная модель PA, для нестандартных — что попало.

[mihaild]

dgwuqtj в сообщении #1675806 писал(а):

Во-первых, у ZFC нет стандартной модели в виде множества, на то оно и ZFC.

Ну поскольку $\text{ZFC} + \operatorname{Con}{\text{ZFC}}$ равнонепротиворечива с ZFC, то бывают и модели ZFC, в которых у ZFC есть модель.

dgwuqtj в сообщении #1675806 писал(а):

В-третьих, я что-то не слышал про счётную модель ZFC с вычислимым предикатом $\in$, но тут лучше mihaild подскажет.

Таких и правда нет.

dgwuqtj в сообщении #1675806 писал(а):

В-четвёртых, для ZFC вообще не очень понятно, как отличать стандартную модель от нестандартных, в отличие от PA, где стандартная — это просто минимальная по включению

Как и в случае PA, стандартность не абсолютна, а зависит от внешней модели. Модель ZF называется стандартной, если она фундирована, т.е. в ней нет бесконечных цепочек принадлежности. Разумеется, бесконечность цепочки зависит от внешней модели.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: учебный вопрос по математической логике.

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

mihaild в сообщении #1675810 писал(а):

Модель ZF называется стандартной, если она фундирована, т.е. в ней нет бесконечных цепочек принадлежности.

Понятно, а я просто имел в виду модель в виде класса всех "реально существующих" множеств. Буду знать. Но тогда получается, что нельзя доказать элементарную эквивалентность стандартных моделей ZF? Или даже там существуют заведомо элементарно неэквивалентные стандартные модели? У PA так все стандартные модели изоморфны.

[mihaild]

(Оффтоп)

dgwuqtj в сообщении #1675821 писал(а):

Понятно, а я просто имел в виду модель в виде класса всех "реально существующих" множеств

Это вообще непонятно, что такое. Сильно недостижимые кардиналы существуют?

dgwuqtj в сообщении #1675821 писал(а):

Но тогда получается, что нельзя доказать элементарную эквивалентность стандартных моделей ZF?

Про элементарную эквивалентность сходу не скажу. От неизоморфных избавиться не получится - у арифметики есть модель ($\omega$), вкладывающаяся в любую другую, у ZF такой модели, вообще говоря, может не быть (т.к. нет модели, вкладывающейся одновременно в $\omega$ и не-$\omega$ модели).
Вот минимальная транзитивная (в которой отношение принадлежности унаследовано из внешней модели) существует.

[dgwuqtj]

(Оффтоп)

Если взять стандартную модель с отрицанием $V = L$, то в ней есть подмодель (тоже стандартная) из конструктивных множеств, где выполняется эта аксиома. Так что они не элементарно эквивалентны.