Расчет интерференционного фильтра

[Александр Т.]

Munin писал(а):

Александр Т. в сообщении #166313 писал(а):

По крайней мере, мне стало ясно, что Вы имеете в виду.

И мне поясните.

По-моему peregoudov все достаточно ясно написал. Прочитайте его текст непредвзято. Это желательно еще и потому, что я в своих пояснениях буду использовать введенную им терминологию.

Рассмотрим пару уравнений Максвелла

$$ \nabla\cdot\vec{D}=4\pi\rho,\quad \nabla\times\vec{H}=\dfrac{4\pi}{c}\vec{j}+\frac1c\frac{\partial\vec{D}}{\partial t}.$$

Первое уравнение peregoudov называет уравнением связи, а второе --- динамическим. Вопрос состоял в том, насколько законно добавлять в динамическое уравнение независимую величину $\vec{j}$. Утвержение его, насколько я понимаю, состояло в том, что это может привести к несовместности этих уравнений. Действительно, взяв от обеих частей первого уравнения частную производную по времени, а от обеих частей второго --- дивергенцию, имеем

$$ \nabla\cdot\dfrac{\partial \vec{D}}{\partial t}=4\pi\dfrac{\partial \rho}{\partial t},\quad 0=\dfrac{4\pi}{c}\nabla\cdot\vec{j}+\frac1c\nabla\cdot\dfrac{\partial\vec{D}}{\partial t}.$$

Ислючая из этих двух уравнений члены, содержащие $\vec{D}$, получим
(1)

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0,$$

т.е. если величина $\vec{j}$ не связана с величиной $\rho$ соотношением (1), то ее добавление в динамическое уравнение приводит к несовместности динамического уравнения с уравнением связи.

Вот, собственно, и весь фактический материал дискуссии. Все остальное --- герменевтика. Трактовать этот материал можно по-разному, и выбор трактовки --- это вопрос (в более принципиальном случае) удобства, а то и (в менее принципиальном случае) чисто эстетический. Свою трактовку этого материала я изложил в своем сообщении #166313.

Обсуждать трактовки фактов, основанных на работе с формулами, в принципе небесполезно, если человек, с которым ведется обсуждение, способен привести новую или неожиданную формулу, обосновывая выбор своей трактовки. Узнавание новой формулы или осмысление известной может привести к смене трактовки, что обеспечивает развитие физического мировоззрения (я бы даже сказал, к его большей гармонизации). Поскольку peregoudov таким качеством в довольно изрядной мере обладает, я и решил продолжить с ним обсуждение наших трактовок.

peregoudov в сообщении #166490 писал(а):

Александр Т. в сообщении #166313 писал(а):

Если плотность тока несвязанных зарядов вводить в уравнения Максвелла, не учитывая ее физического смыла, т.е. считая, что ее зависимость от координат и времени может быть произвольной и никак не связанной с зависимостью от координат и времени плотности несвязанных зарядов, то действительно возникает несовместность.

Ну, вроде как уравнения пишутся для общего случая, а не для "плоской волны в однородной среде".

Так я все свои рассуждения веду, имея в виду их приложение к среде и электромагнитному полю самого общего вида, т.е. считая, что в общем случае материалные соотношения (т.е. зависимости тока, поляризации, намагниченности от напряженности электрического поля и индукции магнитного поля) еще не введены. Я имею в виду, что даже если я свои рассуждения провожу для уравнений, в которых материальные соотношения использованы (поскольку Вы эти уравнения выписали), то эти рассуждения всегда можно обобщить для вышеупомянутого общего случая.

Цитата:

Александр Т. в сообщении #166313 писал(а):

$$ \nabla\cdot\vec{j}=0.$$

Можно убедиться, что при таком требовании никакой несовместности не возникает.

Но тогда нельзя вводить диэлектрическую проницаемость, то есть писать ${\bf D}=\varepsilon{\bf E}$. Иначе одновременно должны выполняться $\nabla(\varepsilon{\bf E})=0$ и $\nabla(\sigma{\bf E})=0$, что, опять-таки в общем случае, неверно.

Приведите, если не в лом, такой случай. Чтобы было, что конкретно обсуждать.

Цитата:

Либо вы принимаете какую-то модель для поляризации, либо для тока. Поскольку они связаны уравнением непрерывности, просто так писать "от балды" и то и другое нельзя.

Ток и поляризация связаны уравнением непрерывности?! Не могли бы Вы это уравнение написать?

Цитата:

Александр Т. в сообщении #166313 писал(а):

а это странное соотношение ничто иное, как
<...>
закон сохранения несвязанного заряда.

Естественно. Или Ваше собственное соотношение

Александр Т. в сообщении #165558 писал(а):

$$\tilde\varepsilon=\varepsilon+\dfrac{4\pi\sigma}{\mathrm{i}\omega c}$$

Я привел цепочку преобразований, в результате применения которых из вышеупомянутого странного соотношения получается закон сохранения несвязанного заряда. А Вы могли бы привести такую цепочку для моего соотношения?

[AlexNew]

Александр Т. не могли бы Вы обьяснить как следует изменить уравнения если одна из сред это металл (металлическая пленка) ?

[Munin]

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Вот, собственно, и весь фактический материал дискуссии.

Мдя. Негусто. Получается, peregoudov-у просто не понравилось отсутствие упоминания уравнения непрерывности? Ничего хорошего об этом сказать не могу. Я считал это уравнение самоочевидным.

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Приведите, если не в лом, такой случай. Чтобы было, что конкретно обсуждать.

Очевидно, это случай, когда сигма и эпсилон имеют ненулевые градиенты, не равные друг другу. Если в какой-то области они константы, то выносятся за градиент, и уравнения совпадают.

[peregoudov]

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Ислючая из этих двух уравнений члены, содержащие $\vec{D}$, получим
(1)

$$\dfrac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot\vec{j}=0,$$

т.е. если величина $\vec{j}$ не связана с величиной $\rho$ соотношением (1), то ее добавление в динамическое уравнение приводит к несовместности динамического уравнения с уравнением связи.

Именно так. Но я хотел бы сделать дополнение по поводу двух разных случаев использования этих уравнений.

Если мы "держим заряды руками" и интересуемся только расчетом электромагнитного поля (постановка, характерная для микроскопической электродинамики), то "закон сохранения заряда" не есть динамическое соотношение, динамические переменные (поля) в него не входят. Это соотношение на "коэффициенты в уравнении", которое должно выполняться, чтобы уравнения были совместны.

Совсем другое дело, если вас интересует задача электродинамики сплошных сред, в которой заряды и токи не являются заданными, а сами определяются в ходе решения, то есть являются динамическими переменными задачи наравне с полями. В этом случае для них должны быть написаны уравнения движения, причем эти уравнения должны быть написаны так, чтобы закон сохранения в силу этих самых уравнений выполнялся автоматически (воспаряя к совсем высоким материям, можно было бы сказать, что полный лагранжиан системы "заряды плюс поле" должен иметь соответствующую симметрию). Это есть ограничение на возможную форму уравнений движения.

Я всегда считал, что известно общее решение "уравнения непрерывности"

$$ \frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla{\bf j}=0, $$

оно имеет вид

$$ \rho=-\nabla{\bf P},\quad {\bf j}=\nabla\times{\bf M}+\frac{\partial{\bf P}}{\partial t}. $$

Векторы поляризации и намагниченности прячутся в индукции полей, после чего можно уже писать произвольные материальные уравнения

$$ {\bf D}={\bf D}({\bf E}, {\bf H}),\quad {\bf B}={\bf B}({\bf E}, {\bf H}). $$

То есть цель введения D и H состоит как раз в том, чтобы от динамических уравнений для токов и зарядов $\rho=\rho({\bf E},{\bf B})$, ${\bf j}={\bf j}({\bf E},{\bf B})$, связанных законом сохранения заряда, а потому не являющихся независимыми, перейти к независимым материальным уравнениям, выписанным выше.

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Приведите, если не в лом, такой случай. Чтобы было, что конкретно обсуждать.

Munin в сообщении #166968 писал(а):

Очевидно, это случай, когда сигма и эпсилон имеют ненулевые градиенты, не равные друг другу.

Совершенно верно. Если вы мне сейчас будете говорить, что среда однородна, так я вам отвечу, что однородная среда мало кого интересует. Возвращаясь к задаче, с которой началась тема, мы видим, что среда представляет собой пачку однородных слоев (между двумя однородными полупространствами). На границах раздела должны выполняться граничные условия, которые, как вам, несомненно, известно, могут быть получены из уравнений. В данном случае уравнения $\nabla(\varepsilon{\bf E})=0$ и $\nabla(\sigma{\bf E})=0$ приводят к соотношениям

$$ \varepsilon_1E_{n1}=\varepsilon_2E_{n2},\quad \sigma_1E_{n1}=\sigma_2E_{n2}, $$

которые, очевидно, несовместны, если только проводимость не пропорциональна диэлектрической проницаемости.

[Для буквоедов и зануд. Строго говоря, граничные условия не получаются из уравнений, а дополняют их. Однако, если только вы не хотите получить каких-нибудь неприятных чудес, граничные условия стоит с уравнениями согласовывать. Известно, что даже симметричный формально оператор (гамильтониан в квантовой механике) может при определенных граничных условиях иметь комплексные собственные значения (квазистационарные состояния).]

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Ток и поляризация связаны уравнением непрерывности?! Не могли бы Вы это уравнение написать?

Я имел в виду то, что написал выше: материальные уравнения в форме $\rho=\rho({\bf E},{\bf B})$, ${\bf j}={\bf j}({\bf E},{\bf B})$ связаны законом сохранения заряда.

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Я привел цепочку преобразований, в результате применения которых из вышеупомянутого странного соотношения получается закон сохранения несвязанного заряда. А Вы могли бы привести такую цепочку для моего соотношения?

Собственно, странное соотношение и было получено мной из закона сохранения заряда. А Ваше формула получается, если в странное соотношение подставить гармонически зависящие от времени величины и интерпретировать коэффициент при поле E как "полную диэлектрическую проницаемость".

Может, хватит уже восточной витиеватости?

[AlexNew]

peregoudov писал(а):

Совсем другое дело, если вас интересует задача электродинамики сплошных сред, в которой заряды и токи не являются заданными, а сами определяются в ходе решения, то есть являются динамическими переменными задачи наравне с полями. В этом случае для них должны быть написаны уравнения движения, причем эти уравнения должны быть написаны так, чтобы закон сохранения в силу этих самых уравнений выполнялся автоматически (воспаряя к совсем высоким материям, можно было бы сказать, что полный лагранжиан системы "заряды плюс поле" должен иметь соответствующую симметрию). Это есть ограничение на возможную форму уравнений движения.

но ведь любые даже связанные заряды имеют свои уравнения свижения, или они задаются только с помощью диэлектрического тензора зависящего от частоты а сами уравнения не меняются?

вы частично ответили на мой вопрос про металл, но всеже нельзяли как нибудь более конкретно этот вопрос рассмотреть?

[Александр Т.]

AlexNew писал(а):

Александр Т. не могли бы Вы обьяснить как следует изменить уравнения если одна из сред это металл (металлическая пленка) ?

Уравнения изменять не надо. Для задач по рассчетам взаимодействия с высокочастотным электромагнитным излучением металлы, также как и диэлектрики характеризуются комплексной диэлектрической проницаемостью как функцией частоты $\tilde\varepsilon(\omega)$ и отличаются от них только тем, что для них разложение этой функции в ряд по степеням $\omega$ начинается (если начинать с наименьшей степени) с члена

$$ \dfrac{4\pi\sigma\mathrm{i}}{\omega} , $$

где $\sigma$ --- проводимость металла в постоянном электрическом поле. Об этом написано в параграфе 77 восьмой книги Священного десятикнижия (см. формулу (77,9)). (Когда я читал Ваши первые сообщения в этой теме, я думал, что Вы лучше всех остальных участников изучили главу IX вышеупомянутой книги.)

[Munin]

peregoudov в сообщении #167081 писал(а):

Если вы мне сейчас будете говорить, что среда однородна, так я вам отвечу, что однородная среда мало кого интересует.

Кроме автора темы, имеющего вполне конкретную задачу со вполне конкретными средами. Однородными. И всех остальных участников обсуждения, обсуждавших именно эту конкретную задачу.

[AlexNew]

Александр Т. писал(а):

Уравнения изменять не надо. Для задач по рассчетам взаимодействия с высокочастотным электромагнитным излучением металлы, также как и диэлектрики характеризуются комплексной диэлектрической проницаемостью как функцией частоты

тоесть уравнение которое будет описывать поведение электронов в металле можно полностью загнать в комплексную диэлектрическую проницаемостью как функцию частоты? Но ведь если присмотреться то фактически система становится очень сложной: есть ДУ для описания электронов в металле и есть внешенее поле которое возмущает эти электронны, которые в свою очередь создают ЭМ поле (могут возникать поверхностные волны и прочие штуки)
peregoudov предложил записать лагрнжиан, но он вроде и так известен.

Наверное вся разница в том что в диэлектриках заряды не могут перемещаться на растояния сравнимые с длинной волны, поэтому их можно описать в "точке" с помощью диэлектрической проницаемости, в металлах же их движение становится "нелокальным" .

[Munin]

AlexNew в сообщении #167220 писал(а):

тоесть уравнение которое будет описывать поведение электронов в металле можно полностью загнать в комплексную диэлектрическую проницаемостью как функцию частоты?

Да.

AlexNew в сообщении #167220 писал(а):

Но ведь если присмотреться то фактически система становится очень сложной

Дык и функция непростая. С комплексными полюсами.

[Александр Т.]

Александр Т. в сообщении #166313 писал(а):

Если плотность тока несвязанных зарядов вводить в уравнения Максвелла, не учитывая ее физического смысла, т.е. считая, что ее зависимость от координат и времени может быть произвольной и никак не связанной с зависимостью от координат и времени плотности несвязанных зарядов, то действительно возникает несовместность.

Однако, на мой взгляд, если мы вводим не просто произвольную новую величину, а именно плотность тока несвязанных зарядов (тока, который может быть чистым током проводимости, а может иметь и конвективную составляющую $\rho\vec{v}$, где $\vec{v}$ - скорость среды), то мы обязаны потребовать, чтобы для него выполнялось уравнение

$$ \nabla\cdot\vec{j}=-\dfrac{\partial\rho}{\partial t},$$

т.е., при отсутствии несвязанных зарядов (...)

$$ \nabla\cdot\vec{j}=0.$$

Можно убедиться, что при таком требовании никакой несовместности не возникает.

Когда я это писал, то имел в виду случай, когда диэлектрическая проницаемость и проводимость --- постоянны. Во всяком случае должен был иметь в виду. (А если не имел в виду, то был дурак, но, к счастью, этого никто доказать не сможет, поскольку я и сам уже не смогу с уверенностью утверждать, что я этого в виду не имел.)

peregoudov в сообщении #166490 писал(а):

Александр Т. в сообщении #166313 писал(а):

$$ \nabla\cdot\vec{j}=0.$$

Можно убедиться, что при таком требовании никакой несовместности не возникает.

Но тогда нельзя вводить диэлектрическую проницаемость, то есть писать ${\bf D}=\varepsilon{\bf E}$. Иначе одновременно должны выполняться $\nabla(\varepsilon{\bf E})=0$ и $\nabla(\sigma{\bf E})=0$, что, опять-таки в общем случае, неверно.

peregoudov в сообщении #167081 писал(а):

Александр Т. в сообщении #166929 писал(а):

Приведите, если не в лом, такой случай. Чтобы было, что конкретно обсуждать.

Munin в сообщении #166968 писал(а):

Очевидно, это случай, когда сигма и эпсилон имеют ненулевые градиенты, не равные друг другу.

Совершенно верно.

Я надеялся на то, что случай будет более конкретный. Ведь диэлектрическая проницаемость может, например, зависеть только от координат, но не зависеть от напряженности электрического поля, а может, наоборот, не зависеть от координат, но зависеть от поля. А может зависеть как от координат, так и от поля.

В любом случае мой ответ на то, что

peregoudov в сообщении #166490 писал(а):

Но тогда нельзя вводить диэлектрическую проницаемость, то есть писать ${\bf D}=\varepsilon{\bf E}$. Иначе одновременно должны выполняться $\nabla(\varepsilon{\bf E})=0$ и $\nabla(\sigma{\bf E})=0$, что, опять-таки в общем случае, неверно.

следующий.

Вводить диэлектрическую проницаемость в этом случае можно, но уже нельзя считать, что плотность несвязанных зарядов всегда равна нулю. Даже если она и была равна нулю в некоторый начальный момент времени, то в последующие моменты времени она не равна нулю. Для самого простого случая, когда диэлектрическая проницаемость зависит только от координат, но не зависит от напряженности электрического поля, изменение плотности несвязанных зарядов подчиняется уравнению

$$\dfrac{\partial\rho}{\partial t}=-\sigma\nabla\cdot\vec{E}-\vec{E}\cdot\nabla\sigma=-\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon}\rho-4\pi\varepsilon\vec{E}\cdot\nabla\dfrac{\sigma}{4\pi\varepsilon}.$$

Добавление:

peregoudov в сообщении #167081 писал(а):

Если вы мне сейчас будете говорить, что среда однородна, так я вам отвечу, что однородная среда мало кого интересует. Возвращаясь к задаче, с которой началась тема, мы видим, что среда представляет собой пачку однородных слоев (между двумя однородными полупространствами).

Ну я-то уж точно не буду это говорить. Автора темы по большому счету интересует прохождение света через неоднородности, которые представляют собой границы между однородными слоями.

Цитата:

На границах раздела должны выполняться граничные условия, которые, как вам, несомненно, известно, могут быть получены из уравнений. В данном случае уравнения $\nabla(\varepsilon{\bf E})=0$ и $\nabla(\sigma{\bf E})=0$ приводят к соотношениям

$$ \varepsilon_1E_{n1}=\varepsilon_2E_{n2},\quad \sigma_1E_{n1}=\sigma_2E_{n2}, $$

которые, очевидно, несовместны, если только проводимость не пропорциональна диэлектрической проницаемости.

В силу того, что при наличии неоднородностей нельзя считать, что несвязанные заряды всегда отсутствуют, вместо этих граничных условий в общем случае нужно писать

$$ \varepsilon_2E_{n2}-\varepsilon_1E_{n1}=4\pi\rho_\mathrm{s},\quad \sigma_2E_{n2}-\sigma_1E_{n1}=-\dfrac{\partial\rho_\mathrm{s}}{\partial t}, $$

где $\rho_\mathrm{s}$ --- поверхностная плотность несвязанных зарядов, а нормаль направлена из среды 1 в среду 2.

При достаточно низких частотах для плохо проводящих сред появление несвязанных зарядов на границах раздела между различными средами --- достаточно хорошо известное явление. В частности, оно является причиной возникновения электрогидродинамических (ЭГД) течений.

Однако я бы предостерег автора темы от применения этих граничных условий для электромагнитной волны оптического диапазона. (Хотя более менее достоверно неприменимость этих условий может быть установлена только при помощи эксперимента.) То, что написано ниже является обоснованием для этого предостережения.
Конец добавления.

Я хочу сказать, что можно в любом случае ввести ввести одновременно диэлектрическую проницаемость и проводимость без противоречия с законом сохранения заряда. Другое дело, что при этом нужно заботится не только об отсутствии этого противоречия. Нужно еще, чтобы полученная модель соответствовала действительности. Для этого нужно как-то диэлектрическую проницаемость и проводимость определить: либо экспериментально, либо методами статфизики (во втором случае нужно выбрать микроскопическую модель).

Несвязанные заряды существуют объективно. Под действием электрического поля они могут двигаться сквозь вещество, которое оказывает сопротивление этому движению. Это сопротивление можно описать при помощи коэффициентов подвижности. Именно через эти коэффициенты и концентрацию несвязанных зарядов и определяется проводимость. Однако, если частота изменения электрического поля достаточно велика (что имеет место для электромагнитной волны светового диапазона), действие поля на несвязанный заряд практически не отличается от действия такого поля на связанный заряд, поскольку амплитуда колебаний как связанного, так и несвязанного заряда много меньше размеров атома или молекулы. В этом случае разделение зарядов на связанные и несвязанные, а следовательно, и одновременное введение диэлектрической проницаемости и проводимости становится ненужной детализацией описания вещества. Вместо этого вводят только диэлектрическую проницаемость как комплексную функцию частоты. (Иногда считают, что диэлектрическая проницаемость --- это действительная часть этой функции, а мнимая часть этой функции равна проводимости, умноженной на $4\pi$ и деленной на частоту (см. примечание в конце параграфа 77 ЛЛ8).)

--

[AlexNew]

Цитата:

Однако, если частота изменения электрического поля достаточно велика , действие поля на несвязанный заряд практически не отличается от действия такого поля на связанный заряд, поскольку амплитуда колебаний как связанного, так и несвязанного заряда много меньше размеров атома или молекулы.

Отличается как небо от земли.
Что вы понимаете под амплитудой колебаний? частота здесь не причем, только напряженность поля имеет значения.
Даже малая напряженность поля радиоволны вызывает перераспределение заряда, в проводнике, а то что волна становится короче вовсе не значит что заряд не будет перераспределятся вдоль этой волны. Длина волны света на 4 порядка больше размера атома, для свободных зарядов это тоже самое что и радиоволна.

[Александр Т.]

AlexNew писал(а):

Цитата:

Однако, если частота изменения электрического поля достаточно велика , действие поля на несвязанный заряд практически не отличается от действия такого поля на связанный заряд, поскольку амплитуда колебаний как связанного, так и несвязанного заряда много меньше размеров атома или молекулы.

Отличается как небо от земли.

Эвона как.

А я-то прочитал параграф 78 ЛЛ8 (Диэлектрическая проницаемость при очень больших частотах) и увидел, что там при вычислении смещения $\vec{r}$ электрона под влиянием поля совсем не учитывается, связанный он или свободный. И для этого смещения там получено выражение

$$\vec{r}=-\dfrac{e\vec{E}}{m\omega^2}.$$

А оказывается

AlexNew писал(а):

... частота здесь не причем, только напряженность поля имеет значения.

[AlexNew]

Цитата:

А оказывается

зависит от конкретной задачи, что такое большая частота и свободный электрон? В металах на оптических частотах электроны будут перераспределятся вдоль волны, это точно, целый раздел физики этим даже занимается.
Но я не специалист, и у меня скорее вопросы чем ответы.

мне понравилось что сказал peregoudov хоть это и общая фраза ...

Цитата:

Совсем другое дело, если вас интересует задача электродинамики сплошных сред, в которой заряды и токи не являются заданными, а сами определяются в ходе решения, то есть являются динамическими переменными задачи наравне с полями. В этом случае для них должны быть написаны уравнения движения, причем эти уравнения должны быть написаны так, чтобы закон сохранения в силу этих самых уравнений выполнялся автоматически (воспаряя к совсем высоким материям, можно было бы сказать, что полный лагранжиан системы "заряды плюс поле" должен иметь соответствующую симметрию). Это есть ограничение на возможную форму уравнений движения.

жаль что он молчит как партизан с тех пор.

[Rat]

У меня возник другой вопрос:
вот допустим у меня есть 2 стеклянные подложки, с нанесенными на них диэлектрическими покрытиями. Подложки находятся в воздухе на расстоянии, например, 10 см или больше.
Падение нормальное.
Мне надо найти коэффициент отражения данной системы.

Вопрос: могу ли я в данном случае пользоваться матричным методом, описывая слой воздуха матрицей?

[peregoudov]

Да.