Теорема об обратной функции и еже

[ElfDante]

Здравствуйте!
Разбираю задачки из НМУ прошлых лет и наткнулся на категорическое непонимание.

Задача 1. Предъявить всюду дифференцируемую функцию (на R) такую, что $f(0) = 0$, $f'(0) \ne 0$ и не существует окрестностей нуля, на которых эта функция была бы диффеоморфизом.

Я не понимаю, как эта задача согласуется с теоремой об обратной функции, которая по сути и утверждает, что непрерывно-дифференцируемая функция с ненулевой производной обязана быть диффеоморфизом. Единственное условие из формулировки теоремы, которое в условии задачи не требуется - это непрерывность производной, но по условию $f$ всюду дифференцируема, а производная не может иметь точек разрыва первого рода. Точки разрыва второго рода явно запрещены.

Задача 2. Привести пример гладкого векторного поля $V(x)$ на сфере $S^{2n}$ в $R^{2n+1}$, заданной уравнением $x_1^2 +...+x_{2n+1}^2 = 1$, такого, что $<V(x),x>=0$, $V(x) \ne 0$ для всех $x \in S^{2n}$.

Думаю, очевидно, что здесь возникает вопрос о том, как эта задача согласуется с теоремой о еже.

Помогите, пожалуйста, справиться с троллингом Шапошникова. Спасибо!

[dgwuqtj]

1. А пример всюду дифференцируемой, но не непрерывно дифференцируемой функции вы знаете?
2. Так и согласуется, что при $n = 1$ его не бывает. Постройте для какого-то другого $n$...

[drzewo]

Я бы сказал, что задача 1 проиворечит теореме об обратной функции из Л Шварца <<Анализ>> том1 и определению диффеоморфизма из Стернберга <<Лекции по дифференциальной геометрии>>

-- 17.02.2025, 10:35 --

ElfDante в сообщении #1675111 писал(а):

не существует окрестностей нуля, на которых эта функция была бы диффеоморфизом.

диффеоморфизмом окрестности на себя или диффеоморфизмом окрестности на свой образ?

-- 17.02.2025, 10:37 --

dgwuqtj в сообщении #1675115 писал(а):

Так и согласуется, что при $n = 1$ его не бывает. Постройте для какого-то другого $n$

а разве теорема о причесывании ежа не для всех четномерных сфер верна?

[ElfDante]

dgwuqtj в сообщении #1675115 писал(а):

1. А пример всюду дифференцируемой, но не непрерывно дифференцируемой функции вы знаете?

Для одномерного случая - нет.

dgwuqtj в сообщении #1675115 писал(а):

2. Так и согласуется, что при $n = 1$ его не бывает. Постройте для какого-то другого $n$...

Теорема о еже справедлива же для всех четномерных сфер.

drzewo в сообщении #1675116 писал(а):

диффеоморфизмом окрестности на себя или диффеоморфизмом окрестности на свой образ?

Точная формулировка звучит так:
"... не существует окрестностей $U(0)$ и $V(0)$, для которых $f: U(0) \to V(0)$ - диффеоморфизм"

[drzewo]

ElfDante в сообщении #1675118 писал(а):

Точная формулировка звучит так:
"... не существует окрестностей $U(0)$ и $V(0)$, для которых $f: U(0) \to V(0)$ - диффеоморфизм"

тогда

drzewo в сообщении #1675116 писал(а):

задача 1 проиворечит теореме об обратной функции из Л Шварца <<Анализ>> том1 и определению диффеоморфизма из Стернберга <<Лекции по дифференциальной геометрии>>

[dgwuqtj]

ElfDante в сообщении #1675118 писал(а):

Теорема о еже справедлива же для всех четномерных сфер.

Действительно, я был неправ.

-- 17.02.2025, 10:13 --

drzewo в сообщении #1675116 писал(а):

Я бы сказал, что задача 1 проиворечит теореме об обратной функции из Л Шварца <<Анализ>> том1 и определению диффеоморфизма из Стернберга <<Лекции по дифференциальной геометрии>>

Уж я не знаю, что Стернберг называет диффеоморфизмом, но посмотрим на функцию $f(x) = \frac x 2 + x^2 \sin \frac 1 x$ при $x \neq 0$, $f(0) = 0$ (без слагаемого $\frac x 2$ это стандартный пример из Контрпримеров в анализе). У неё производная — это $f'(x) = \frac 1 2 + 2 x \sin \frac 1 x - \cos \frac 1 x$ при $x \neq 0$, $f'(0) = \frac 1 2$. Если что, в нуле у неё точка разрыва второго рода, односторонних пределов производной нет. Теперь докажем, что она не инъективна ни в какой окрестности $0$ (и не гомеоморфизм). Действительно, если бы она была инъективна на $(-\varepsilon, \varepsilon)$, то она была бы там монотонна и производная была бы неотрицательна. В нуле производная $\frac 1 2 > 0$, а при $x = \frac 1 {2 \pi k}$ производная равна $-\frac 1 2 < 0$.

Это как раз пример 5 из главы 3 Контрпримеров в анализе, только поделённый на $2$.

[drzewo]

UPD тут была чушь написана

dgwuqtj в сообщении #1675121 писал(а):

Уж я не знаю, что Стернберг называет диффеоморфизмом

гомеомрфизм, дифференцируемый в обе стороны и такой, что производное отображение невырождно во всех точках

-- 17.02.2025, 11:32 --

dgwuqtj в сообщении #1675121 писал(а):

Действительно, если бы она была инъективна на $(-\varepsilon, \varepsilon)$, то она была бы там монотонна и производная была бы неотрицательна. В нуле производная $\frac 1 2 > 0$, а при $x = \frac 1 {2 \pi k}$ производная равна $-\frac 1 2 < 0$.

Да, это я лажанул. В теореме об обратной функции непрерывная дифференцируемость требуется

[ElfDante]

dgwuqtj в сообщении #1675121 писал(а):

Если что, в нуле у неё точка разрыва второго рода,

Я додумался до примера с синусом, но что делать с этой точкой разрыва? Получается, что функция не всюду дифференцируема на прямой, а это противоречит условию.

[dgwuqtj]

Функция $f$ непрерывна и дифференцируема в каждой точке. Вне нуля она непрерывно дифференцируема. В нуле она дифференцируема и у производной разрыв второго рода. Что не так?

[ElfDante]

dgwuqtj в сообщении #1675121 писал(а):

$f'(x) = \frac 1 2 + 2 x \sin \frac 1 x - \cos \frac 1 x$ при $x \neq 0$, $f'(0) = \frac 1 2$.

Я категорически не понимаю, откуда тут взялось равенство производной 1/2 в нуле...

[dgwuqtj]

$f'(0) = \lim_{x \to 0,\, x \neq 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0,\, x \neq 0} \frac{x/2 + x^2 \sin 1/x}{x} = \ldots$

[skobar]

dgwuqtj в сообщении #1675121 писал(а):

без слагаемого $\frac x 2$ это стандартный пример из Контрпримеров в анализе

И с $\frac {x} {2}$ это тоже стандартный пример из "Контрпримеров в анализе" Гелбаума, Олмстеда. В книжке примеры соседствуют друг с другом.

[ElfDante]

dgwuqtj в сообщении #1675134 писал(а):

$f'(0) = \lim_{x \to 0,\, x \neq 0} \frac{f(x) - f(0)}{x} = \lim_{x \to 0,\, x \neq 0} \frac{x/2 + x^2 \sin 1/x}{x} = \ldots$

А, всё, у меня уже ум за разум заехал - я пытался этот предел от производной взять.

skobar в сообщении #1675135 писал(а):

"Контрпримеров в анализе" Гелбаума, Олмстеда.

Я посмотрю это, спасибо!

Остается теперь вопрос с векторным полем на сфере...