Пределы последовательностей и предел функции

[skobar]

Пусть $f:(0,\infty)\to \mathbb{R}$ - непрерывная функция, такая, что для любого положительного $x$, $\lim_{n\to\infty}f(nx)=0$
Доказать, что в таком случае $\lim_{x\to\infty}f(x)=0$

PS Прикольная задачка, мне понравилась.

[RIP]

Предположим противное. Тогда найдутся $\varepsilon>0$ и (в силу непрерывности) последовательность отрезков $[a_n,b_n]$, $b_n>a_n\to+\infty$, такие что $\left\lvert f(x)\right\rvert>\varepsilon$ при $x\in A=\bigcup[a_n,b_n]$. Осталось найти $x_0>0$, такое что $nx_0\in A$ для бесконечно многих $n\in\mathbb{N}$. Нужно организовать последовательность вложенных отрезков.

Построим возрастающие последовательности натуральных чисел $n_k$ и $m_k$, такие что

$$\bigcap_{k=1}^{\infty}\frac{1}{n_k}\bigl[a_{m_k},b_{m_k}\bigr]\ne\varnothing.$$

Положим $n_1=m_1=1$. Пусть уже построены $n_1,\dotsc,n_K$ и $m_1,\dotsc,m_K$, такие что

$$\bigcap_{k=1}^{K}\frac{1}{n_k}\bigl[a_{m_k},b_{m_k}\bigr]=[a,b],\quad a<b.$$

Достаточно найти $n_{K+1}>n_K$ и $m_{K+1}>m_K$ (второе условие на самом деле не нужно), удовлетворяющие

$$a<\frac{1}{n_{K+1}}\,a_{m_{K+1}}<b \iff \frac{a_{m_{K+1}}}{b}<n_{K+1}<\frac{a_{m_{K+1}}}{a}.$$

Поскольку $\frac{a_n}{a}-\frac{a_n}{b}\to+\infty$, при достаточно большом $m_{K+1}$ нужное $n_{K+1}$ найдётся.

[drzewo]

the Croft Lemma.
Остается верной если непрерывность функции заменить на полунепрерывность снизу $|f|$

[skobar]

RIP
То есть последовательность вложенных друг в друга отрезков - это $[c_K,d_K]=\bigcap_{k=1}^{K}\frac{1}{n_k}\bigl[a_{m_k},b_{m_k}\bigr], \quad K=1,2,3,\dots$
Да, доказательство красивое и не использует практически ничего (полнота $\mathbb{R}$ не в счет)

drzewo в сообщении #1674649 писал(а):

the Croft Lemma.
Остается верной если непрерывность функции заменить на полунепрерывность снизу $|f|$

Эрудиция однако :) Не знал, что это Croft's Lemma.

Моё доказательство основано на теореме Бэра о категории (т.е. опять же так или иначе используется полнота $\mathbb{R}$, или, точнее, полнота $[0,\infty)$). Напишу решение здесь чуть позже.

[skobar]

Зафиксируем $\varepsilon >0$.
Пусть

$$F_n=\{x\in (0,\infty) : |f(kx)|\leq \varepsilon, k=n, n+1, n+2,\dots\}, \quad n=1,2,\dots$$

Каждое $F_n$ - замкнутое множество, как пересечение замкнутых (используем непрерывность $f$).
Как легко понять, условие задачи означает, что $\bigcup_{n=1}^{\infty}F_n=(0,\infty)$.
Тогда

$$[0,\infty)=\{0\}\cup F_1 \cup F_2 \cup F_3 \cup\dots$$

Так как $[0,\infty)$ - полное метрическое пространство, то, по теореме Бэра, какое-то $F_k$ обязано иметь непустую внутренность, то есть будет содержать интервал $(a,b), a<b$. Рассмотрим интервалы

$$ (ka,kb), ((k+1)a,(k+1)b), ((k+2)a,(k+2)b),\dots $$

На всех этих интервалах $|f(x))|\leq \varepsilon$. Нетрудно показать, что начиная с некоторого места интервалы начнут перекрывать друг друга, промежутков между ними не будет, то есть начиная с какого-то места на положительной полуоси будет выполнено $|f(x)|\leq \varepsilon$, что и требовалось показать.

Насколько я вижу, доказательство проходит и для полунепрерывной снизу $|f|$.

[Ende]

Сообщение Kira01 отделено в Карантин по следующим причинам:
- неправильно набраны формулы (краткие инструкции: «Краткий FAQ по тегу [math]» и видеоролик Как записывать формулы);

Исправьте все Ваши ошибки и сообщите об этом в теме Сообщение в карантине исправлено.
Настоятельно рекомендуется ознакомиться с темами Что такое карантин и что нужно делать, чтобы там оказаться и Правила научного форума.