2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


Посмотреть правила форума



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Область однолистности и разрез
Сообщение11.02.2025, 21:52 


17/10/23
74
dgwuqtj
А если разрезы делать по положительной оси то получается функция все равно не будет аналитична на множестве ?
И еще, для функции $z^2$ где-то она будет разрывна ? Но у нее тоже область однолистности $\alpha< \varphi <\alpha+\pi$, везде строгие неравенства.
vpb в сообщении #1674106 писал(а):
А я вот чёй-то думаю, уж не перепутал ли ТС, или возможно даже его преподаватель, области однозначности, на которых определены ветви многозначной функции, с областями однолистности.

Ну насколько я понимаю область однолистности = область взаимооднозначноти

 Профиль  
                  
 
 Re: Область однолистности и разрез
Сообщение11.02.2025, 23:37 
Заслуженный участник


07/08/23
1428
Cosmochelik в сообщении #1674253 писал(а):
А если разрезы делать по положительной оси то получается функция все равно не будет аналитична на множестве ?

Она даже непрерывна не будет! Нарисуйте картинку, что ли: вот у вас есть окружность и вы хотите каждую точку на ней отправить в точку под вдвое меньшим углом к $(1, 0)$ (есть $2$ возможных угла, надо для каждой точки какой-то выбрать). То есть $(0, 1) \mapsto \pm(\frac {\sqrt 2} 2, \frac {\sqrt 2} 2)$ и т.д. В какую бы сторону вы не измеряли углы, где-то возникнет разрыв, вот там и придётся делать разрез.
Cosmochelik в сообщении #1674253 писал(а):
И еще, для функции $z^2$ где-то она будет разрывна ? Но у нее тоже область однолистности $\alpha< \varphi <\alpha+\pi$, везде строгие неравенства.

А вот это уже для взаимно-однозначности, сама по себе $z \mapsto z^2$ аналитична во всём $\mathbb C$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область однолистности и разрез
Сообщение12.02.2025, 11:49 


17/10/23
74
dgwuqtj

Получается, для $\sqrt{z}$ нужно делать разрез потому что функция будет разрывна, а для функции $z^2$ делать разрез нужно для.. чего ?
Там область однолистности считают за $0<arg z < \pi$ все равно не понятно почему не делают одно неравенство не строгим

dgwuqtj в сообщении #1674279 писал(а):
А вот это уже для взаимно-однозначности

Пока не могу понять почему если сделать одно неравенство нестрогим то отображение уже не будет взаимо-однозначным

 Профиль  
                  
 
 Re: Область однолистности и разрез
Сообщение12.02.2025, 13:26 
Заслуженный участник


07/08/23
1428
Так вы посчитайте образ $\sqrt z$, заданной на плоскости с разрезом. Заодно будет понятно, почему там только полуплоскость.

 Профиль  
                  
 
 Re: Область однолистности и разрез
Сообщение12.02.2025, 16:41 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/09
7357
Cosmochelik в сообщении #1674380 писал(а):
все равно не понятно почему не делают одно неравенство не строгим

Cosmochelik в сообщении #1674380 писал(а):
Пока не могу понять почему если сделать одно неравенство нестрогим то отображение уже не будет взаимо-однозначным

(В дополнение к предыдущему). Голоморфная функция должна определяться на открытом множестве. Теория на этом основана.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 20 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: HungryLion, teleglaz


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group