Область однолистности и разрез

[Cosmochelik]

dgwuqtj
А если разрезы делать по положительной оси то получается функция все равно не будет аналитична на множестве ?
И еще, для функции $z^2$ где-то она будет разрывна ? Но у нее тоже область однолистности $\alpha< \varphi <\alpha+\pi$, везде строгие неравенства.

vpb в сообщении #1674106 писал(а):

А я вот чёй-то думаю, уж не перепутал ли ТС, или возможно даже его преподаватель, области однозначности, на которых определены ветви многозначной функции, с областями однолистности.

Ну насколько я понимаю область однолистности = область взаимооднозначноти

[dgwuqtj]

Cosmochelik в сообщении #1674253 писал(а):

А если разрезы делать по положительной оси то получается функция все равно не будет аналитична на множестве ?

Она даже непрерывна не будет! Нарисуйте картинку, что ли: вот у вас есть окружность и вы хотите каждую точку на ней отправить в точку под вдвое меньшим углом к $(1, 0)$ (есть $2$ возможных угла, надо для каждой точки какой-то выбрать). То есть $(0, 1) \mapsto \pm(\frac {\sqrt 2} 2, \frac {\sqrt 2} 2)$ и т.д. В какую бы сторону вы не измеряли углы, где-то возникнет разрыв, вот там и придётся делать разрез.

Cosmochelik в сообщении #1674253 писал(а):

И еще, для функции $z^2$ где-то она будет разрывна ? Но у нее тоже область однолистности $\alpha< \varphi <\alpha+\pi$, везде строгие неравенства.

А вот это уже для взаимно-однозначности, сама по себе $z \mapsto z^2$ аналитична во всём $\mathbb C$.

[Cosmochelik]

dgwuqtj

Получается, для $\sqrt{z}$ нужно делать разрез потому что функция будет разрывна, а для функции $z^2$ делать разрез нужно для.. чего ?
Там область однолистности считают за $0<arg z < \pi$ все равно не понятно почему не делают одно неравенство не строгим

dgwuqtj в сообщении #1674279 писал(а):

А вот это уже для взаимно-однозначности

Пока не могу понять почему если сделать одно неравенство нестрогим то отображение уже не будет взаимо-однозначным

[dgwuqtj]

Так вы посчитайте образ $\sqrt z$, заданной на плоскости с разрезом. Заодно будет понятно, почему там только полуплоскость.

[мат-ламер]

Cosmochelik в сообщении #1674380 писал(а):

все равно не понятно почему не делают одно неравенство не строгим

Cosmochelik в сообщении #1674380 писал(а):

Пока не могу понять почему если сделать одно неравенство нестрогим то отображение уже не будет взаимо-однозначным

(В дополнение к предыдущему). Голоморфная функция должна определяться на открытом множестве. Теория на этом основана.