Область однолистности и разрез

[Cosmochelik]

Вопрос по тфкп.
Почему область однолистности функций (например для $\sqrt{z}$) пишут с $ -\pi < \arg{z} < \pi$ (или часто $ 0 < \arg{z} < 2\pi$) а не например с $ -\pi < \arg{z}\leqslant \pi$ ? Что мешает сделать неравенство нестрогим с одной стороны ? И что такое строго говоря разрез ? $ -\pi < \arg{z}\leqslant \pi$ уже не будет разрезом ?

[dgwuqtj]

Функции в ТФКП рассматриваются на открытых множествах (даже на связных открытых, то есть областях), так удобнее. Поэтому, чтобы рассматривать $\sqrt z$ именно как функцию, и оставляют открытое подмножество, где она однолистна. Разрезом называют такое замкнутое множество, что на его дополнении функция однолистна. Это не совсем формальное понятие, обычно разрезы — это какие-то кривые или вложенные графы.

[drzewo]

Cosmochelik в сообщении #1674023 писал(а):

И что такое строго говоря разрез ?

Строго говоря, разрез это такой костыль, который позволяет понять как устроена риманова поверхность для какой-нибудь заданной аналитической функции. Фундаментальным объектом здесь является именно риманова поверхность. Риманова поверхность одна, а разрезы и области однолистности можно выбирать по-разному. И поскольку мы с этой задачей в конкретных примерах справляется успешно, а общая конструкция формализуется в терминах римановых поверхностей, то нет смысла имхо, наводить в данном вопросе какой-то формализм.

[vpb]

Не вспоминая про аналитичность и т.д. Допустим, мы желаем однозначно определить значение функции $\sqrt z$. Это, конечно, делается так: $\sqrt z= (\sqrt r) e^{i\varphi/2}$, если $z=re^{i\varphi}$. Но, заметьте, $\varphi$, то есть аргумент, определен не однозначно, а с точностью до $2\pi k$. А в точке $z=0$ вообще не определен. Мы можем выбрать $\varphi$ однозначно, наложив, допустим, условие $\alpha\leq\varphi<\alpha+2\pi$, для какого-нибудь конкретного $\alpha$, скажем для $\alpha=-\pi$. Но тогда, внезапно, функция $\sqrt z$ окажется не непрерывной, а именно, на отрицательной части действительной оси разрывной. Поэтому линию разреза (она не обязательно прямая, а может быть очень даже кривая) выкидывают, а на оставшемся множестве $\sqrt z$ можно определить так, что она будет непрерывна, и даже голоморфна.

-- 10.02.2025, 17:44 --

Книжка популярная: В.Б.Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях.

[drzewo]

vpb в сообщении #1674073 писал(а):

Но тогда, внезапно, функция $\sqrt z$ окажется не непрерывной, а именно, на отрицательной части действительной оси разрывной.

С разрывными функциями все знакомы из курсов анализа, а то новое и главное, что есть здесь у Вас осталось за кадром. Я не говорю уже о том, что на своей естественной области определения т.е. на римановой поверхности функция $\sqrt z$ не является разрывной. Вы просто перекошенное представление формируете у студента.

vpb в сообщении #1674073 писал(а):

Книжка популярная: В.Б.Алексеев, Теорема Абеля в задачах и решениях.

Ага, а теперь давайте вместо изучения базовых понятий ТФКП займемся специальным изолированным вопросом.

[Red_Herring]

drzewo в сообщении #1674080 писал(а):

Вы просто перекошенное представление формируете у студента.

У какого студента? Например, у нас есть два "начальных" семестровых курса ТФКП; один "Комплексный Анализ. I" для математиков-специалистов (и за ним следует "Комплексный Анализ. II") и "Комплексные Переменные" для всех прочих. Там не только разный объем, но и разные пререквизиты. В "про" курсе все "по взрослому", а в курсе "для остальных" давать римановы поверхности бесполезно, не воспримут.

[skobar]

Риманова поверхность, конечно, будет естественной областью определения $\sqrt{z}$, но не уверен, что ТС спрашивает про неё, скорее вопрос про ветви корня на $\mathbb{C}$. На комплексной плоскости для некоторых (не для всех) областей можно определить голоморфные ветви корня. Стандартное достаточное условие для возможности определения голоморфной ветви корня - это чтобы область определения была односвязна и не включала ноль (односвязность означает, что любой замкнутый путь можно непрерывно стянуть в точку не выходя за границы области). Т.е. область определения должна удовлетворять следующим трем условиям:

1. Область определения должна быть открытым множеством в $\mathbb{C}$ (пишу это на всякий случай, ибо сам термин "область" подразумевает, что она должна быть открытой)
2. Область определения должна исключать ноль
3. Область должна быть односвязной.

Именно для выполнения условий 1-3 для построения голоморфной ветви корня в качестве области определения можно взять комплексную плоскость с исключенным замкнутым лучом, начинающимся в нуле (так называемый "разрез"). Если принять условие $ -\pi < \arg{z}\leqslant \pi$ (с нестрогим неравенством), то либо область замкнется вокруг нуля и условие односвязности будет нарушено (если ноль все ещё исключен), либо область определения будет включать ноль.
На мой взгляд, vpb все правильно и полезно говорил.

[vpb]

А я вот чёй-то думаю, уж не перепутал ли ТС, или возможно даже его преподаватель, области однозначности, на которых определены ветви многозначной функции, с областями однолистности.
Потому что пример из исходного сообщения --- это как раз пример на области однозначности, а не однолистности. А на однолистность пример (соответствующий) следующий: $f(z)=z^2$, область $\alpha< \varphi <\alpha+\pi$.

И, про римановы поверхности явно несвоевременно товарищу говорить.

В этой связи вот что. Когда-то на форуме обсуждали, какой хороший учебник по ТФКП. И уважаемый Brukvalub написал, что неплохой учебник Шабат, введение в комплексный анализ, но коротковат, конспективный. А самый хороший --- Маркушевич, Теория аналитических функций в двух томах. Очень полезная для меня лично оказалась рекомендация ! Стал я недавно переучивать ТФКП ( в видах того, что ТФКП связано с алгебраической геометрией), по Маркушевичу, и (Волковыскому в качестве задачника), и совершенно другое у меня понятие об этом предмете открылось, по сравнению с тем, что с университета знал. (Надо сказать, что Маркушевич Шабата и по объему в четыре раза длинней, если не в пять...).

Так вот, в Маркушевиче про ветви многозначных функций написано во второй главе, а про римановы поверхности --- в последней, восьмой, в конце второго тома уже. Что свидетельствует о. О том бишь, что второй предмет --- нечто гораздо более сложное, чем первый.

-- 11.02.2025, 00:33 --

drzewo в сообщении #1674080 писал(а):

Ага, а теперь давайте вместо изучения базовых понятий ТФКП займемся специальным изолированным вопросом.

По-моему, книжка Алексеева как раз о некоторых базовых понятиях (ветвях многозначной функции и их перестановках) дает хорошее понятие, на весьма начальном уровне, конечно, причем доступное школьнику. Теорему Абеля в универе действительно не проходят, но она многим интересна. Почему ж, в самом деле, это уравнение пятой степени не решается в радикалах ?

[пианист]

Еще хорошая книжечка на тему, что за разрезы такие, и зачем они, это Спрингер "Введение в теорию римановых поверхностей".
С картинками ;)

[мат-ламер]

Red_Herring в сообщении #1674082 писал(а):

У какого студента?

vpb в сообщении #1674106 писал(а):

И, про римановы поверхности явно несвоевременно товарищу говорить.

Подозреваю, что ТС физик. Возьмём к примеру учебник по ТФКП Свешникова и Тихонова. Учебник (как и вся серия, в которую он входит) возникла из лекций, которые авторы читали на физфаке МГУ. Так там понятие римановой поверхности и аналитического продолжения вводятся довольно рано - уже в третьей главе. Не берусь советовать именно эту книгу, поскольку сам её не читал (учил ТФКП по Шабату). Но наверное можно найти более-менее популярное изложение предмета, доступное для физиков. Вспоминаю, что кто-то советовал учебник Шабунина и Сидорова.

[Cosmochelik]

dgwuqtj
skobar

Вопрос, а просто комплексная плоскость разве не открытое множество ? (смотря на нее в координатах (x,y) )
И может ли множество перестать быть открытым если мы будем использовать другие координаты


vpb
Почему функция разрывна ?

[skobar]

Cosmochelik в сообщении #1674167 писал(а):

Вопрос, а просто комплексная плоскость разве не открытое множество ?

Разумеется вся комплексная плоскость это открытое множество. Но на всей комплексной плоскости голоморфной ветви корня не существует. Области мало быть открытой чтобы на ней можно было построить хорошую ветвь корня (без разрывов), она ещё должна исключать ноль и быть односвязной (это достаточные условия).

-- 11.02.2025, 19:34 --

Cosmochelik в сообщении #1674167 писал(а):

И может ли множество перестать быть открытым если мы будем использовать другие координаты

Не может.

-- 11.02.2025, 19:37 --

Множество на плоскости "открыто", если каждая точка множества лежит в данном множестве вместе "с мясом", т.е. вместе с каким-нибудь кружком положительного радиуса с центром в этой точке.

[Cosmochelik]

skobar в сообщении #1674218 писал(а):

Разумеется вся комплексная плоскость это открытое множество. Но на всей комплексной плоскости голоморфной ветви корня не существует. Области мало быть открытой чтобы на ней можно было построить хорошую ветвь корня (без разрывов), она ещё должна исключать ноль и быть односвязной (это достаточные условия).

А если просто убрать 0, но не делать разрез по отрицательной оси, то что тогда нарушиться ?

[dgwuqtj]

Так а как вы определяете корень в $z = e^{i t}$, $t \in \mathbb R$, чтобы он получился непрерывным? При разрезе вдоль отрицательной оси корень стремится к $\pm i$ при $z \to -1 \pm i 0$.

[skobar]

Cosmochelik в сообщении #1674238 писал(а):

А если просто убрать 0, но не делать разрез по отрицательной оси, то что тогда нарушиться ?

Нарушится односвязность. Односвязность означает, что любую замкнутую петлю (путь) можно стянуть в точку непрерывным образом не выходя за пределы области . Пусть мы из комплексной плоскости убрали только ноль. Представите себе замкнутую петлю вокруг нуля в виде такой гибкой нити. Такую петлю, как ни крути, в области в точку не стянуть - выколотый ноль мешает это сделать. Чтобы избежать таких петель, не стягивающихся в точку, приходится вместе с нулем ещё убирать целиком какой-нибудь луч, начинающийся в нуле (делать "разрез"). Обычно убирают луч, который идет из нуля налево по отрицательным числам, отсюда и возникает строгое неравенство $ -\pi < \arg{z} < \pi$.