Сумма степеней натуральных чисел

[e7e5]

В книжке написано, что математик Johann Faulhaber в своем труде Академия Алгебры ( 1631 год) привел формулу вычисления суммы степеней натуральных чисел.
$S_n(p)=1^p+2^p+3^p+...+n^p$
Эта формула представляет некую сумму с биномиальными коэффициентам, которые умножаются на некоторые коэффициенты, как то: 1; 1/2; 1/6; 0; -1/30; 0; 1/42; 0; -1/30; 0; 5/66; 0; ...

a) Хотелось бы понять, ка эту формулу вывести, иными словами - общую формулу для суммы степеней натуральных чисел, степеней больших трех?

В частности: пусть $S_n(p)=\sum_{k=1}^{n} k^p$ , p - есть натуральные

b) Также возможно есть некое реккуретное соотношение, нарпиме зная $S_n(1)$ и $S_n(2)$, вычисляем $S_n(3)$?

[Gafield]

Цитата:

которые умножаются на некоторые коэффициенты, как то: 1; 1/2; 1/6; 0; -1/30; 0; 1/42; 0; -1/30; 0; 5/66; 0

Это называется числа Бернулли.

a) Есть такая формула. См., напр., книгу "Конкретная математика".
b) Есть такое соотношение. Суммируем равенство $(k+1)^{m+1}-k^{m+1}={{m+1}\choose1}k^m+\ldots+{m+1\choose m} k+{{m+1}\choose{m+1}}1$ по $k$ от $1$ до $n$, слева получим $(n+1)^{m+1}-1$, а справа - комбинацию из $S_k(n)$, $k=0,1,\ldots,m$.

[Nilenbert]

Насчёт первого пункта: [url=http://en.wikipedia.org/wiki/Euler–Maclaurin_formula]Euler–Maclaurin formula[/url]

[Архипов]

суммы ряда ( длина ряда =[x] )
$Sum (n) = x^2/2 + x/2$
$Sum(n^2)= x^3/3 + x^2/2 + x/6$
$Sum(n^3)= x^4/4 + x^3/2 + x^2/4$
$Sum(n^4)= x^5/5 + x^4/2 + x^3/3 - x/30$
$Sum(n^5)= x^6/6 + x^5/2 + 5x^4/12 - x^2/12$
$Sum(n^6)= x^7/7 + x^6/2 + x^5/2 - x^3/6 + x/42 $
$Sum(n^7)= x^8/8 + x^7/2 + 7x^6/12 - 7x^4/24 + 2x^2/12$
$Sum(n^8)= x^9/9 + x^8/2 + 2x^7/3 - 7x^5/15 + 2x^3/9 - x/30$

[Jnrty]

Jnrty:

Архипов, повторное предупреждение за нарушение правил записи формул. Не знаете, где прочесть? Подсказываю: темы "Первые шаги в наборе формул" и "Краткий ФАК по тегу [mаth]."

[e7e5]

Gafield писал(а):

b) Есть такое соотношение. Суммируем равенство $(k+1)^{m+1}-k^{m+1}={{m+1}\choose1}k^m+\ldots+{m+1\choose m} k+{{m+1}\choose{m+1}}1$ по $k$ от $1$ до $n$, слева получим $(n+1)^{m+1}-1$, а справа - комбинацию из $S_k(n)$, $k=0,1,\ldots,m$.

По идее должно получаться
$\sum_{p=1}^m C_{m+1}^p S_n(p)=(n+1)^{m+1}-(n+1)$, но как?
Т.е то что справа у Вас - комбинация из $S_k(n)$, $k=0,1,\ldots,m$, пнаписал слева?
Поясните пожалуйста подробнее