Транспортер

[drzewo]

Можно я тоже простую задачу выложу?
Транспортер состоит из двух одинаковых дисков массы $M$ и радиуса $R$ с центрами $A,B$ и ленты массы $\mu$, надетой на эти диски. Оси $A,B$ неподвижны, трения в осях нет. Все диски однородны.
На ленту транспортера поставлен диск с центром $S$ массы $m$ и радиуса $r$. К центру диска $S$ приложена постоянная сила $F$, направленная параллельно ленте транспортера. Найти ускорение точки $S$. Между лентой и дисками проскальзывания нет.

[Geen]

(Оффтоп)

Взлетит ли самолёт?

[drzewo]

Как-то так, да:)

[Утундрий]

Масса $\mu$ отсутствует на рисунке. Наверное, это скрытая масса

[wrest]

(Оффтоп)

Интуиция подсказывает что при массивной ленте, решение возможно зависит от того сколько её массы пришлось на огибание дисков, т.е. от расстояния между A и B. Но это не точно.

[realeugene]

Да не, не зависит. У системы две степени свободы - угловые скорости вращений разных дисков. Два динамических уравнения: для энергии и момента импульса относительно $A$. Одно кинематическое уравнение, связывающее угловые скорости вращений дисков с линейной скоростью $S$. Разрешимо.

Хотя момент импульса огибающей правый диск части ленты относительно $A$ зависит от расстояния $AB$, но вертикальное ускорение этого участка должно компенсироваться вертикальной реакцией в оси $B$, так как горизонтальные участки ленты не создают вертикальной силы. Так что момент инерции от массы ленты лучше учесть отдельно от дисков.

[Утундрий]

Отношение $AB$ к $R$ определяет, какая часть $\mu$ "посажена" на диск транспортёра. Это влияет на динамику.

[realeugene]

Утундрий в сообщении #1673702 писал(а):

Отношение $AB$ к $R$ определяет, какая часть $\mu$ "посажена" на диск транспортёра. Это влияет на динамику.

Не, для динамики ленту заменяем на обод массой $\mu$ радиуcа $R$ с центром $A$. Оставив кинематические связи со скоростями дисков чтобы учесть их динамику.

[dovlato]

Мысленно выбросить громоздкий этот транспортёр, вместе с дисками А и В. Вместо них, будем считать, что в данный момент в точке соприкосновения находится эквивалентная масса, щас.. ага, равная $\mu+M$ (радиусы А и В просто не нужны). Ну и считаем всё что захотим.
Кстати, а если взамен транспортёра, допустим, с верхним диском будет соприкасаться непосредственно диск А, по-прежнему с неподвижной осью. Тоже с постоянным контактом, и без проскальзывания, так что для точки S траектория будет круговая. Не считал, но наверное, теперь ускорение S придётся вычислять иначе?

[drzewo]

Решение

(Оффтоп)

$y$ -- координата точки $S$, углы и направление их отсчете показаны на картинке.
Кинетическая энергия системы

$$T=\frac{1}{2}\mu(\dot\varphi R)^2+J\dot\varphi^2+\frac{1}{2}m\dot y^2+\frac{1}{2}I\dot\psi^2,\quad I=\frac{1}{2}mr^2,\quad J=\frac{1}{2}MR^2.$$

Лагранжиан

$$L=T\Big|_{\dot\psi=-(\dot y+R\dot\varphi)/r};$$

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}-\frac{\partial L}{\partial\varphi}=0,\quad \frac{d}{dt}\frac{\partial L}{\partial\dot y}-\frac{\partial L}{\partial y}=-F$$

$$\ddot y=-\frac{F(m+2\mu+2M)}{(3\mu+3M+m)m}$$

Имеется линейный по скоростям первый интеграл: $\frac{\partial L}{\partial\dot\varphi}$ Что любопытно само по себе.

[realeugene]

drzewo в сообщении #1673728 писал(а):

Что любопытно само по себе.

Пространство двумерно, сила действует в линейном подпространстве, энергия квадратична. В ортогональном по квадратичной форме энергии подпространстве энергия сохраняется.

[drzewo]

dovlato в сообщении #1673719 писал(а):

Кстати, а если взамен транспортёра, допустим, с верхним диском будет соприкасаться непосредственно диск А, по-прежнему с неподвижной осью. Тоже с постоянным контактом, и без проскальзывания, так что для точки S траектория будет круговая. Не считал, но наверное, теперь ускорение S придётся вычислять иначе?

Я тут на самом деле хотел уравнения Лагранжа второго рода попропагандировать. Ваш вопрос для этого тоже вполне подходит:)

[realeugene]

(Оффтоп)

drzewo в сообщении #1673733 писал(а):

уравнения Лагранжа второго рода попропагандировать

У них ещё и рода есть?

-- 08.02.2025, 15:35 --

dovlato в сообщении #1673719 писал(а):

Кстати, а если взамен транспортёра, допустим, с верхним диском будет соприкасаться непосредственно диск А, по-прежнему с неподвижной осью. Тоже с постоянным контактом, и без проскальзывания, так что для точки S траектория будет круговая. Не считал, но наверное, теперь ускорение S придётся вычислять иначе?

Изменяется кинематическая связь между скоростями, так что видимо таки да.

[dovlato]

Тут можно парой ньютоновских уравнений обойтись; хотя с лагранжианом проще и легче.

[Ignatovich]

dovlato в сообщении #1673737 писал(а):

Тут можно парой ньютоновских уравнений обойтись; хотя с лагранжианом проще и легче.

Все так, а можно ли в исходной задаче найти силы натяжения ленты?