Гомеоморфизм счётных всюду плотных подмножеств R

[mihaild]

schmetterling в сообщении #1673242 писал(а):

$f(x) \to \infty$ при $x \to \infty$ (это даст замкнутость)

А, ну да. Непрерывная биекция компакта в хаусдорфово.

schmetterling в сообщении #1673242 писал(а):

То есть нужна space-filling curve, у которой не слишком много самопересечений

У кривой Гильберта самопересечения только в точках, хотя бы одна координата которых двоично-рациональна.

[schmetterling]

mihaild в сообщении #1673252 писал(а):

У кривой Гильберта самопересечения только в точках, хотя бы одна координата которых двоично-рациональна.

1) она $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$?
2) из того, что самопересечений мало в кодомене, не следует, что их мало в домене

-- 05.02.2025, 15:40 --

Хотя это уже придирки, понятно, что докрутить можно, просто лень

-- 05.02.2025, 15:41 --

А вот вопрос с непрерывным отображением $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, которое индуцирует гомеоморфизм всюду плотных подмножеств, ещё открыт

[mihaild]

schmetterling в сообщении #1673254 писал(а):

1) она $\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$?

Она $[0, 1] \to [0,1]^2$, отображает $0$ в $(0, 0)$ и $1$ в $(0, 1)$. Из этого собирается $\mathbb R \to \mathbb R^2$.

schmetterling в сообщении #1673254 писал(а):

из того, что самопересечений мало в кодомене, не следует, что их мало в домене

Правда. Придется чуть глубже лезть.
Кривая Гильберта задается в двоичной системе так: $0.x_1 x_2 x_3 \ldots \to (0. x_1 x_3 x_5 \ldots, 0.[x_1 \oplus x_2][x_3 \oplus x_4]\ldots)$. И если обе координаты двоично-иррациональны, то исходное число по ним восстанавливается однозначно.

[schmetterling]

schmetterling в сообщении #1673254 писал(а):

А вот вопрос с непрерывным отображением $\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, которое индуцирует гомеоморфизм всюду плотных подмножеств, ещё открыт

Такого отображения нет — если бы оно было, кривая Гильберта оказалась бы инъективна.

[mihaild]

schmetterling в сообщении #1673426 писал(а):

Такого отображения нет — если бы оно было, кривая Гильберта оказалась бы инъективна

Почему?
Прообраз любой точки относительно такого отображения бесконечен (потому что прообраз прямой без неё несвязен). Но я не вижу, что должно помешать выбрать у каждой рациональной точки по одному прообразу так, чтобы ограничение на эти прообразы было гомоморфизмом.

[schmetterling]

mihaild
Фиксируем непрерывную функцию $f{:}\; \mathbb{R} \to \mathbb{R}^2$, которая индуцирует гомеоморфизм $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}^2$.

Пусть найдётся непрерывная $g{:}\; \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$, которая индуцирует гомеоморфизм $\mathbb{Q}^2$ и $\mathbb{Q}$, тогда композиция $g \circ f{:}\; \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ индуцирует гомеоморфизм $\mathbb{Q}$ и $\mathbb{Q}$. Можно проверить, что такая функция $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ обязательно монотонна, но тогда $f$ обратима слева, а значит, инъективна.