Аналогия между гравитацией и оптикой

[sergey zhukov]

Время радиального распространения света из точки $r_1$ в точку $r_2$ в статическом центрально симметричном гравитационном поле (например, при радиальной посылке импульса и приеме его отражения от поверхности звезды), если использовать решение Шварцшильда, может быть рассчитано из следующего представления.

Свет распространяется по поверхности параболоида Фламма (это изображение пространственной геометрии экваториальной плоскости звезды в трехмерном пространстве), которая в разных точках имеет разную оптическую плотность. Это представление дает известный результат времени хода светового импульса туда и обратно $t=\frac{2}{c}\int\limits_{r_1}^{r_2}\frac{dr}{1-\frac{r_g}{r}}$

Если это представление работает для радиального хода лучей, то вероятно, оно так же работает и в общем случае произвольного направления лучей (лежащих в экваториальной плоскости)? Т.е. задачу о распространении света в статическом центрально симметричном гравитационном поле можно свести к задаче о скорейшем распространении света вдоль искривленной поверхности, имеющей переменную оптическую плотность?

[svv]

sergey zhukov в сообщении #1514375 писал(а):

Если это представление работает для радиального хода лучей, то вероятно, оно так же работает и в общем случае произвольного направления лучей (лежащих в экваториальной плоскости)? Т.е. задачу о распространении света в статическом центрально симметричном гравитационном поле можно свести к задаче о скорейшем распространении света вдоль искривленной поверхности, имеющей переменную оптическую плотность?

Да. Это справедливо даже в более общей формулировке. В ЛЛ2 посмотрите задачу 2 после §88 (стр.342):

Цитата:

Вывести принцип Ферма для распространения лучей в постоянном гравитационном поле.

В случае статической метрики
$ds^2=g_{00}dt^2+g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$ (греческие индексы принимают значения 1,2,3)
принцип запишется в виде $\delta\int\frac{dl}{\sqrt{g_{00}}}=0$, где $dl^2=-g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$.

Решив вариационную задачу для начальной точки $A$ и конечной точки $B$, мы найдём траекторию луча. Интеграл $\int\limits_A^B\frac{dl}{\sqrt{g_{00}}}$ по этой траектории даст изменение мирового времени $t=x^0$ при распространении светового импульса из $A$ в $B$. (А не изменение собственного времени неподвижного наблюдателя в какой-то точке.) Рассматривать непременно замкнутый ход луча необязательно.

Тот же интеграл допускает другую трактовку. Это время хода светового импульса в пространстве-времени с метрикой
$ds^2=dt^2+g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$,
которое заполнено средой с показателем преломления $n=\frac 1{\sqrt{g_{00}}}$, зависящим только от пространственных координат.
Заметьте, что в данной метрике коэффициент при $dt^2$ равен $1$, а в $n$ входит $g_{00}$ из исходной метрики.

[sergey zhukov]

svv
Интересно. Значит, эта аналогия применима. К сожалению, я нигде раньше не видел ее упоминания, ведь она очень понятная. Вероятно, ее не упоминают потому, что она вообще-то уводит в сторону от правильного понимания ОТО.
Например, она маскирует единство пространства-времени, создавая иллюзию, что (в данном случае) геометрия параболоида и поле скоростей света на его поверхности могут быть заданы независимо друг от друга, а на самом деле эта связь очевидно следует из единства пространства-времени. Так же она наводит на мысль, что подобным образом можно визуализировать любое статическое гравитационное поле, а это (похоже) возможно только, если пространственная геометрия сечения может быть вложена в трехмерное пространство. Она работает только для некоторых статических полей и отказывает уже для стационарного поля, в котором путь света из А в В, отличается от пути света из В в А. И, наконец, она годится только для света.
Но, учитывая, что в подавляющем большинстве популярных книжек рассматривается решение Шварцшильда и искривление света, эту аналогию могли бы упоминать и почаще. Например, могли бы говорить так:

1. Представим себе, что пространство вокруг черной дыры (ЧД) - это обычное плоское пространство, заполненное прозрачным веществом с переменной оптической плотностью такой, что скорость света уменьшается до нуля при приближении к горизонту событий. Будет ли это аналогом настоящей ЧД с точки зрения искривления лучей света? Нет, потому что в этой модели скорость света зависит только от точки в пространстве и не зависит от направления хода луча в этой точке, а такая зависимость должна быть. Это слишком простая модель;

2. Представим себе, что пространство вокруг ЧД искривлено так, что радиальное расстояние в нем растягивается тем сильнее, чем ближе мы к горизонту событий, а на горизонте это растяжение бесконечно (кроме того, само расстояние до горизонта тоже бесконечно). Если рассмотреть экваториальную плоскость, то это представление можно визуализировать воронкой, имеющей бесконечную глубину, причем луч света распространяется вдоль ее поверхности по геодезической линии (кратчайшей). Представим, что мы смотрим на эту воронку сверху. Тогда видимая скорость луча будет зависеть не только от точки в пространстве, но еще и от направления луча (в радиальном направлении она ниже, чем в тангенциальном). Будет ли это аналогом ЧД с точки зрения искривления света? Нет, т.к. тангенциальная скорость света тут, очевидно, остается всегда постоянной, а это неверно. Например, такая модель предсказывает, что свет, проходя мимо массивного тела, не испытывает практически никакой временной задержки (эффект Шапиро). Эта модель сложнее предыдущей, но она тоже неверна;

3. Совместим обе модели. Представим себе, что пространство одновременно и искривлено и заполнено прозрачным веществом с переменной оптической плотностью, т.е. скорость света вдоль поверхности воронки (которую теперь нет надобности представлять бесконечно глубокой и она становится параболоидом) зависит от радиальной координаты. Свет в этой модели распространяется по пути, который теперь не является ни скорейшей на плоскости (как в первой модели), ни кратчайшей на поверхности (как во второй модели), а совмещает и то и другое - это скорейшая на поверхности. Вот такая модель эквивалентна ЧД с точки зрения распространения света;

4. Нужно помнить, что эта аналогия, хотя и точная количественно, всего лишь позволяет интуитивно понять ход лучей света в известном гравитационном поле специального вида. Понимания ОТО она не дает.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1514694 писал(а):

кроме того, само расстояние до горизонта тоже бесконечно

нет.

-- 17.04.2021, 12:09 --

sergey zhukov в сообщении #1514694 писал(а):

всего лишь позволяет интуитивно понять ход лучей света в известном гравитационном поле специального вида.

Ну и как Вы в этой аналогии видите фотонную сферу?

[sergey zhukov]

Geen
Если мы хотим обьяснить распространение света в окрестности ЧД, предполагая искривление одного только пространства, то зная, что радиальный путь света до горизонта длится вечно, приходится предположить, что расстояние до горизонта бесконечно. Разумеется, это неверно, как и вообще неверно представление о том, что вокруг ЧД происходит искривление одного только пространства.

Фотонной сферы тут не будет, ведь скорость света предполагается разной в разных точках и по разным направлениям.

[sergey zhukov]

Тут даже искривленного пространства не потребуется, по моему. Достаточно взять анизотропный неоднородный прозрачный материал, заполняющий плоское пространство вокруг ЧД. Правда, наглядность от этого теряется.

[Geen]

sergey zhukov в сообщении #1514722 писал(а):

Фотонной сферы тут не будет

Тогда это не аналогия вообще.

sergey zhukov в сообщении #1514722 писал(а):

предполагая искривление одного только пространства,

Я не знаю что такое "пространство"....

sergey zhukov в сообщении #1514758 писал(а):

Правда, наглядность от этого теряется.

Так что там с наглядной фотонной сферой?

[sergey zhukov]

Geen
Эта аналогия позволяет правильно посчитать траектории световых лучей и время их распространения в центрально симметричном гравитационном поле по часам бесконечно удаленного наблюдателя, т.е. решить очень распространенную задачу. В этом смысле это хорошая аналогия. На этом ее полезность, я думаю, заканчивается.

[sergey zhukov]

Написал некоторые пояснения к аналогии между оптикой и гравитацией. По моему, это полезно прочитать тем, кто не особо разбирается в математике ОТО, но хотел бы что-то понимать на уровне картинок. Никаких Америк тут не открывается, все это хорошо известно.

[piksel]

svv в сообщении #1514671 писал(а):

Это справедливо даже в более общей формулировке. В ЛЛ2 посмотрите задачу 2 после §88 (стр.342):

Цитата:

Вывести принцип Ферма для распространения лучей в постоянном гравитационном поле.

В случае статической метрики
$ds^2=g_{00}dt^2+g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$ (греческие индексы принимают значения 1,2,3)
принцип запишется в виде $\delta\int\frac{dl}{\sqrt{g_{00}}}=0$, где $dl^2=-g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta$.

Решив вариационную задачу для начальной точки $A$ и конечной точки $B$, мы найдём траекторию луча. Интеграл $\int\limits_A^B\frac{dl}{\sqrt{g_{00}}}$ по этой траектории даст изменение мирового времени $t=x^0$ при распространении светового импульса из $A$ в $B$. (А не изменение собственного времени неподвижного наблюдателя в какой-то точке.)

Сейчас наука пошла дальше. В. П. Фролов предложил обобщенный принцип Ферма для любого пространства-времени, включая нестационарное, https://arxiv.org/abs/1307.3291. Решение совпадает с геодезическими с точностью до аффинного параметра. Используется принцип минимума Понтрягина теории оптимального управления.

Получаемые начальные уравнения дает и вариационный принцип стационарного интеграла энергии фотона РЭНСИТ, 2019, 11(3):249-260, п. 3, 5. Уравнения для импульсов, п.4,

$\frac{d{{p}^{k}}}{d\text{ }\!\!\mu\!\!\text{ }}+{{g}^{k\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}}\frac{\partial {{g}_{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }i}}}{\partial {{x}^{l}}}{{u}^{l}}{{p}^{i}}={{g}^{k\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}}\frac{1}{2{{u}_{1}}{{u}^{1}}}\frac{\partial {{g}_{ij}}}{\partial {{x}^{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}}}{{u}^{i}}{{u}^{j}}
согласуются с уравнениями геодезических.
Произведем замену аффинного параметра
$d\overline{\mu}=d\mu\cdot {{u}_{1}}{{u}^{1}}.
Выражение для импульсов (11) примет вид
${{p}^{\lambda }}=\overline{{u}}^{\lambda },
где 4-скорость определяется как $\overline{u}^{\lambda}=\frac{dx^{\lambda }}{d\overline{\mu}} . Подстановка $d\overline{\mu} в выражение для импульсов приносит
$\frac{d{{p}^{k}}}{d\text{ }\!\!\overline{\mu}\!\!\text{ }}+{{g}^{k\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}}\frac{\partial {{g}_{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }i}}}{\partial {{x}^{l}}}{\overline{u}^{l}}{{p}^{i}}={{g}^{k\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}}\frac{1}{2}\frac{\partial {{g}_{ij}}}{\partial {{x}^{\text{ }\!\!\lambda\!\!\text{ }}}}{\overline{u}^{i}}{\overline{u}^{j}}.
При замене импульса на 4-скорость эти выражения тождественны уравнениям геодезической.

[epros]

sergey zhukov в сообщении #1514375 писал(а):

Свет распространяется по поверхности параболоида Фламма (это изображение пространственной геометрии экваториальной плоскости звезды в трехмерном пространстве)

Да, геометрия пространственного трёхмерия для статической СО решения Шварцшильда - этот самый параболоид Фламма. Но не нужно думать, что этим описывается всё решение Шварцшильда. Например, есть ещё ускорение свободного падения, которое из геометрии пространственного трёхмерия никак не выводится.

[sergey zhukov]

epros
Ну конечно. Это уже достаточно давно мне понятно.