Слабый предел

[drzewo]

Не пытался решать эту задачу в лоб, знаю только сложное решение.
Пусть $X$ множество с $\sigma-$алгеброй и мерой $\mu,\quad \mu(X)=1$.
Измеримое отображение $T:X\to X$ сохраняет меру:

$$\mu(T^{-1}(D))=\mu(D)$$

для каждого измеримого $D\subset X$.
Пусть суммируемая функция $f:X\to\mathbb{R}$ такова, что
последовательность $g_k=f\circ T^k,\quad k\in\mathbb{N}$ сходится слабо в $L^1$ к функции $ g\in L^1$.
Доказать, что $ g\circ T=g$ почти всюду.

[schmetterling]

$\varphi \mapsto \varphi \circ T$ ограниченный оператор, а значит, сохраняет слабые пределы. Тогда $g \circ T = (\lim g_k) \circ T = \lim (g_k \circ T) = \lim g_{k+1} = g$, где предел понимается в слабом смысле.

А сложное решение какое?..

[drzewo]

Сложное это доказать, что $g=\tilde f$ из теоремы 2 отсюда http://dxdy.ru/post1670609.html#p1670609