Доказать, что предел равен числу

[Without Name]

Я хочу заниматься разработкой сигнальных процессоров на FPGA. Для этого я хочу подтянуть знание анализа, потому что в цифровой обработке сигналов повсюду используется анализ и алгебра. Начал заниматься по учебнику самостоятельно с самого начала. Решаю задачу из этого учебника:

Доказать, что $\lim_{x\to2} (x^2 + 4x) = 12$

Я воспользовался определением предела: $\forall\varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon):\left\lvert y_x - 12\right\rvert < \varepsilon$, где $y_x = x^2 + 4x$. Здесь я правильно обозначил член последовательности $y_x$, так как он зависит от $x$?

Получилось: $\left\lvert x^2 + 4x - 12\right\rvert < \varepsilon$

Как отсюда выразить $\varepsilon$, чтобы через него выразить номер $N(\varepsilon)$? Если просто решить квадратное уравнение, то получится два корня. Можно разложить уравнение в произведение скобок, но это не сильно поможет в выражении $\varepsilon$.

[drzewo]

Without Name в сообщении #1672461 писал(а):

Доказать, что $\lim_{x\to\infty} (x^2 + 4x) = 12$

чаво?

[Without Name]

Исправил ошибку копипаста latex

[skobar]

Without Name
Существуют разные пределы. Есть предел последовательности, и есть предел функции. Похоже, вы их путаете.

[Dedekind]

Without Name в сообщении #1672461 писал(а):

Я воспользовался определением предела: $\forall\varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon):\left\lvert y_x - 12\right\rvert < \varepsilon$, где $y_x = x^2 + 4x$

Это не определение, а только его кусок. Напишите определение полностью, это должно помочь.

Without Name в сообщении #1672461 писал(а):

Здесь я правильно обозначил член последовательности $y_x$, так как он зависит от $x$?

А из какого множества у Вас $x$? Натуральные числа, или вещественные?

[Without Name]

Сейчас посмотрю начало учебника. Я его пропустил, думал, что я это все помню. Сейчас посмотрю, дается ли там предел функции.

[skobar]

(Оффтоп)

Сейчас умные люди произнесут слова "направленность", "сеть", и кто-нибудь обязательно вспомнит про "фильтры" :) Все это сильно поможет ТС-у.

[Without Name]

Dedekind в сообщении #1672468 писал(а):

Without Name в сообщении #1672461 писал(а):

Я воспользовался определением предела: $\forall\varepsilon > 0 \exists N(\varepsilon):\left\lvert y_x - 12\right\rvert < \varepsilon$, где $y_x = x^2 + 4x$

Это не определение, а только его кусок. Напишите определение полностью, это должно помочь.

Without Name в сообщении #1672461 писал(а):

Здесь я правильно обозначил член последовательности $y_x$, так как он зависит от $x$?

А из какого множества у Вас $x$? Натуральные числа, или вещественные?

У меня учебник Лузина. Мне он нравится тем, что он очень подробный и понятный. Определение предела переменного (последовательности) звучит так. Мы говорим, что переменное $x$ стремится к пределу $a$, если $\left\lvert x - a\right\rvert$ со временем сделается и будет потом все время оставаться меньше любого малого $\varepsilon > 0$. На языке эпилон-дельта (без упоминания дельта) я написал именно это, что все точки последовательности, начиная с некоторого номера начнут сгущаться вокруг предела.


В задаче не говорится, натуральные числа или вещественные. Задача формулируется так, как я ее сформулировал. До понятия предела было дано только понятие функции.

[Combat Zone]

Without Name
Не надо все эти слова говорить. На языке эпсилон-дельта, про который вы вспомнили, кроме эпсилон, в определении присутствует дельта. Напишите определение полностью.

[Dedekind]

Without Name в сообщении #1672472 писал(а):

На языке эпилон-дельта (без упоминания дельта)

Это здорово, конечно. Все равно что разговаривать на английском языке, без использования английского:) Все-таки, сформулируйте, пожалуйста, определение нормально. Со всеми эпсилонами и дельтами.

[Without Name]

$\lim_{x\to c} f(x) = a$, если для любого $\varepsilon > 0 \exists \delta > 0$, такое, что для всех $x \in D$, если $ 0 <\left\lvert x- c\right\rvert < \delta$, то $\left\lvert f(x) - a\right\rvert < \varepsilon$, где $D$ - множество вещественных чисел.

Такое ощущение, что у Лузина недостаточно информации для решения этой задачи. Попробую почитать Фихтенгольца.

[Combat Zone]

А теперь для своего предела.

PS Информации-то более чем достаточно. Но можно и что-нибудь еще почитать, никто не торопит.

[Without Name]

Combat Zone в сообщении #1672478 писал(а):

а теперь для своего предела.

$\lim_{x\to2} (x^2 + 4x) = 12$ означает, что для любого $\varepsilon > 0 \exists \delta > 0$, такое, что для всех $x \in R$, если $0 < \left\lvert x - 2\right\rvert < \delta$, то $\left\lvert x^2 + 4x - 12\right\rvert < \varepsilon$

[skobar]

Without Name в сообщении #1672476 писал(а):

$\lim_{x\to c} f(x) = a$, если для любого $\varepsilon > 0 \exists \delta > 0$, такое, что для всех $x \in D$, если $ 0 <\left\lvert x- c\right\rvert < \delta$, то $\left\lvert f(x) - a\right\rvert < \varepsilon$, где $D$ - множество вещественных чисел.

Заметьте, что в этом определении нет никакого $N(\varepsilon)$. $N(\varepsilon)$ есть в определении предела последовательности, а это определение предела функции. Очевидно, что у вас в голове смешались два определения предела.

[Without Name]

Да, смешались. В учебнике понятие предела функции, вроде, еще не давалось.