В последнем вопросе

плотны в

. Не вижу очевидных причин, по которым образ

лежит в

.
А, я думал, что имеется в виду всё еще

, но как подмножества

.
Может и можно, но будет ли ограничение на

гомеоморфизмом, или просто каким-то непрерывным отображением?
Вроде бы да. Возьмем стандартную конструкцию кривой Пеано, только с трансцедентным разбиением на квадранты. Прообраз внутренности внутренности квадранта, получающегося на

-м шаге - в точности интервал, взятый на

-м шаге, соответственно, имеющий маленькую длину. Соответственно ограничение кривой на точки, отображающиеся не на границу какого-либо квадранта, биективно, а обратное непрерывно - все точки, близкие к нашей, попадают в тот же квадрант на

-м шаге, соответственно, их прообразы тоже близки.
[потом попробую записать без рукомашества, но вроде сходится]
Вы утверждаете, что гомеоморфизм

никогда не продолжается до гладкой/аналитической функции

?
Я подозреваю, что нет гладкой (и даже

) функции

, отображающей

в

. Но не очень сильно в этом уверен.