Классическое диофантово уравнение с параметром

[nnosipov]

Найдите все натуральные $x$, $y$ и простые $p$ такие, что $x^5+y^4=pxy$.

Комментарий. Это одна из задач Санкт-Петербургской олимпиады 2023 года, предлагалась 10- и 11-классникам. Здесь работает стандартный подход, но сюжет весьма лихо закручен, а финал просто великолепен (это же надо было так аккуратно подобрать показатели, что в конце-концов весь этот квест удачно завершается). Интересно было бы узнать, кто автор этой задачи (по-видимому, книжка с задачами этой олимпиады уже вышла, но я ее не видел).

[Null]

3 варианта:
$\begin{tabular} {l|l|l}x=lm^3p^{k}&x=lm^3p^{3k-1}&x=lm^3\\y=l^4mp^{4k-1}&y=l^4mp^{k}&y=l^4m\end{tabular}$

[nnosipov]

А подробнее? И что дальше делать?

[Null]

Считаем порядки вхождения простых чисел в $x$ и $y$. Два наименьших порядка должны быть равны. Для простых не равных $p$ 2 варианта - они перемножаются в $l$ и $m$. Для $p$ - 3 варианта, откуда выходит то что я выше написал.
Подставляем: первые два варианта невозможны, третий это $l^{11}+m^{11}=p$, откуда решение $x=1, y=1, p=2$

[nnosipov]

Я правильно понимаю, что это доказательство проходит и для целых $x$, $y$?

[Null]

Вот это перестает работать:

Null в сообщении #1672032 писал(а):

первые два варианта невозможны

$m^{11}+l^{11}p^{11k-4}=1$ может решаться в целых.

[nnosipov]

Ну, тогда, видимо, все окей. У меня чуть другие (и более длинные) рассуждения, но выводы те же. Наверное, здесь эффективнее рассматривать простые делители $x$ и $y$, нежели $\gcd{(x,y)}$, как у меня. С другой стороны, если Ваше рассуждение записать совсем подробно, будет ли сильно короче? Не уверен.

Вообще, такие трехчленные уравнения исследованы у Гречука (B. Grechuk). Надо посмотреть, не подпадает ли это уравнение под его условия.

Нет, у него есть только примеры подобных уравнений рода 2 (а здесь у кривой род 5). А в трехчленных уравнениях неизвестных больше двух.