Ну, тогда, видимо, все окей. У меня чуть другие (и более длинные) рассуждения, но выводы те же. Наверное, здесь эффективнее рассматривать простые делители

и

, нежели

, как у меня. С другой стороны, если Ваше рассуждение записать совсем подробно, будет ли сильно короче? Не уверен.
Вообще, такие трехчленные уравнения исследованы у Гречука (B. Grechuk). Надо посмотреть, не подпадает ли это уравнение под его условия.
Нет, у него есть только примеры подобных уравнений рода 2 (а здесь у кривой род 5). А в трехчленных уравнениях неизвестных больше двух.