Размерность фракталов

[B3LYP]

Посмотрел видео, где рассказывается почему у фракталов дробная размерность:

https://youtu.be/gB9n2gHsHN4

Я не совсем пока понял тезисы автора. С одной стороны, для любого фрактала в плоскости, как и вообще для любой фигуры в плоскости, площадь возрастает в 4 раза если увеличить длину и ширину в два раза. Тут же получается что скажем не в четыре а в три раза; кажется суть идеи в том, что площадь можно посчитать через количество пикселей, входящих в фигуру, и если для обычных фигур при уменьшении размера пикселей площадь стремится к определённой величине, то для фракталов размер пикселей можно уменьшать бесконечно, потому что с любым "зумом" всё равно фигура будет рельефная. Мне пришёл в голову вопрос - а функция Вейерштрасса не является фракталом?
Далее не совсем понятно, почему автор говорит, что размерность Британии 1.21, а размерность Норвегии 1.52 (то что для Норвегии больше - индикатор что его побережье более "ветвистое"). Я это тоже не очень понимаю; верно ли утверждение, что если считать площадь по атомам или ещё более мелким единицам - и у Британии и у Норвегии размерность строго 2?

[Red_Herring]

B3LYP в сообщении #1671956 писал(а):

С одной стороны, для любого фрактала в плоскости, как и вообще для любой фигуры в плоскости, площадь возрастает в 4 раза если увеличить длину и ширину в два раза.

Ну и что? Если у "фрактальной фигуры" площадь 0 (а если больше, то фрактальная размеренность её 2). Читайте определения из книг. Начните с фрактальной размерности "матери всех фракталов"--канторова континуума.

B3LYP в сообщении #1671956 писал(а):

размерность Британии 1.21, а размерность Норвегии 1.5

Очередная глупость. Размерности и Норвегии, и Британии 2. Вот размерности побережий у них разные.

[Ende]

Тема перемещена из форума «Математика (общие вопросы)» в форум «Помогите решить / разобраться (М)»
Причина переноса: в профильный раздел.

[Anton_Peplov]

Red_Herring в сообщении #1671960 писал(а):

Читайте определения из книг.

А можете Вы (или кто-то другой) порекомендовать хорошее, систематическое, математически строгое введение во фракталы? Учебное пособие или в крайнем случае монографию. Лучше на русском языке, но в крайнем случае можно на английском.

Научпопом по этой теме я сыт по горло. Федер, "Фракталы". "Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов..." (Да? А можно строгие? Это математика или где?)
Секованов, "Элементы теории фрактальных множеств". Божечки-кошечки, наконец нормальные определения размерностей Минковского и Хаусдорфа-Безиковича. Правда, вынесенные в приложения - основной текст автор предпочел отдать какой-то фигне чему-то другому. Плюс самые известные примеры: снежинка Коха, ковер Серпинского и т.д. Но и только.
Деменок, "Просто фрактал". Это вообще поток сознания с отдельными вкраплениями удобопонимаемых фактов.
Ааааа!!! Можно мне учебник? Или учебников по фракталам в природе не существует?

[Combat Zone]

Морозов тоже не нравится?

[dgwuqtj]

Про размерность Хаусдорфа обычно пишут в книгах по теории меры или по метрической геометрии.

[Red_Herring]

Anton_Peplov в сообщении #1671967 писал(а):

нормальные определения размерностей Минковского и Хаусдорфа-Безиковича. Правда, вынесенные в приложения - основной текст автор предпочел отдать какой-то фигне чему-то другому. Плюс самые известные примеры: снежинка Коха, ковер Серпинского и т.д. Но и только.

По моему этого достаточно.

[Vince Diesel]

Anton_Peplov в сообщении #1671967 писал(а):

порекомендовать хорошее, систематическое, математически строгое введение во фракталы?

Есть старая книжка Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Не знаю, как насчет систематическое, но как по мне, хорошее популярное введение с некоторым количеством формул и подробной историей вопроса. Ну и картинки красивые

[Anton_Peplov]

Combat Zone в сообщении #1671969 писал(а):

Морозов тоже не нравится?

О, спасибо, не знал про эту книгу. Скачал. Оглавление выглядит многообещающе, буду читать.

dgwuqtj в сообщении #1671971 писал(а):

Про размерность Хаусдорфа обычно пишут в книгах по теории меры или по метрической геометрии.

Тоже спасибо. Есть у меня книга Бураго, Бураго, Иванов. Курс метрической геометрии. Посмотрел: да, есть там такой параграф. Буду читать.

Red_Herring в сообщении #1671973 писал(а):

По-моему этого достаточно.

Для ответа на вопрос ТС - да, достаточно. Но я бы хотел глубже познакомиться с темой фракталов. Я надеюсь, что там какая-никакая теория есть. Понятия, теоремы. Не исчерпывается же человеческое знание о фракталах голыми определениями размерностей.

[Geen]

(Оффтоп)

Anton_Peplov в сообщении #1671992 писал(а):

Не исчерпывается же человеческое знание о фракталах голыми определениями размерностей.

Ну, там ещё есть пара констант

[dgwuqtj]

Есть ещё книжки типа J. W. Milnor, Dynamics in one complex variable. При изучении динамики голоморфных функций как раз часто вылезают фракталы, вот там про их топологию хорошо написано.

[Red_Herring]

Vince Diesel писал(а):

Есть старая книжка Пайтген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Не знаю, как насчет систематическое, но как по мне, хорошее популярное введение с некоторым количеством формул и подробной историей вопроса. Ну и картинки красивые

Это не общая теория, которой не существует. Это образы динамических систем, где действительно возникают очень красивые картинки. А так вокруг фракталов возникло навалом прохиндейства. Вот характерный пример: Была гипотеза Вайля о распределении собственных значений лапласиан в областях с гладкой границей. Её доказали (в предположении на билклиардный поток). М.Берри предположил, что в областях с фрактальной границей есть двучленная асимптотика со вторым членом связанным с размеренностью Хаусдорфа границы. Его поправили: во-первых не Хаусдорфа, а внутренней размерности Минковского, и более того второго члена нет, а будет оценка, если не выполнено условие на ёмкость. Тут нарисовался лет 30+ назад приятный (застенчивый нахал) молодой человек Лапидус, написавший кучу статей на эту тему, с двух-, трех- и более страничным определением фракталов, которые он рассматривает. Один мой коллега читал (что было подвигом), находил ошибки, макал автора в фекалы, после чего автор благодарил, писал новые статьи, вводил новые условия, делал новые ошибки, ... никто, кстати, не уверен, что существуют области, удовлетворяющие всем этим условиям. Несколько лет назад этому Лапидусу хотели дать почетную должность какого-то именного профессора в его университете Речной Стороны (ведь он написал очень много статей). Не знаю, чем это кончилось. Я отказался участвовать в противодействии глупости насилием

-- 29.01.2025, 15:23 --

Есть теория странных аттракторов и эти аттракторы имеют как правило нецелую Хаусдорфову размеренность. Но я не видел, чтобы их называли фракталами.

Кстати, существуют несколько неэквивалентных теорий размерности. В некоторых (метрических) размеренность необязательно целая. В некоторых (топологических--Лебега и Урысона) всегда целая.

[Combat Zone]

Anton_Peplov
Ну и вот еще к Морозову, примерно в том же стиле. Божокин, Паршин "Фракталы и мультифракталы"

Red_Herring в сообщении #1671996 писал(а):

Есть теория странных аттракторов и эти аттракторы имеют как правило нецелую Хаусдорфову размеренность. Но я не видел, чтобы их называли фракталами.

А мне попадалось ) правда, не помню, где именно.

Но определение фрактала неустоявшееся - у Морозова в предисловии где-то об этом хорошо и много написано - и это основная причина, видимо, по которой оно не приводится. Или все сводится к какому-то рукомахательству про самопоодобие или что-то в этом духе. Или только про размерности. Или и то, и другое )

-- 29.01.2025, 22:47 --

B3LYP в сообщении #1671956 писал(а):

Мне пришёл в голову вопрос - а функция Вейерштрасса не является фракталом?

Посмотрите Федера (тут уже упомянутого), часть 2.8

[Anton_Peplov]

Combat Zone в сообщении #1672003 писал(а):

Божокин, Паршин "Фракталы и мультифракталы"

Спасибо.

Red_Herring в сообщении #1671996 писал(а):

Есть теория странных аттракторов и эти аттракторы имеют как правило нецелую Хаусдорфову размеренность. Но я не видел, чтобы их называли фракталами.

Я видел. Конечно, всего лишь в научпопе, но хорошем. Например, Безручко Б. П., Короновский А. А., Трубецков Д. И., Храмов А. Е. Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях (обзор книги здесь).

Red_Herring в сообщении #1671996 писал(а):

Кстати, существуют несколько неэквивалентных теорий размерности. В некоторых (метрических) размеренность необязательно целая. В некоторых (топологических--Лебега и Урысона) всегда целая.

В топологии я знаю три размерности: малая индуктивная размерность (размерность Менгера-Урысона, размерность $\operatorname{ind}$), большая индуктивная размерность (размерность Брауэра-Чеха, размерность $\operatorname{Ind}$) и размерность Чеха-Лебега (размерность $\dim$). Все они целые. В простых случаях вроде $\mathbb R$ все три размерности совпадают, в более экзотических начинаются тонкости. Систематическое изложение можно найти в книге Александров, Пасынков. Введение в теорию размерностей. Но для ТС, никогда, подозреваю, не видевшего общей топологии, эта книга будет трудна.

В книге Секованов. Элементы теории фрактальных множеств введены три размерности, используемые для фракталов и, вообще говоря, дробные: размерность Минковского, размерность Хаусдорфа-Безиковича и размерность самоподобия.

[Combat Zone]

B3LYP в сообщении #1671956 писал(а):

Мне пришёл в голову вопрос - а функция Вейерштрасса не является фракталом?

Вряд ли вы это будете читать, но пусть останется. Хаусдорфова размерность графика функции Вейерштрасса