2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5
 
 Re: Рецензии на хорошие/нормальные книги
Сообщение05.02.2022, 23:21 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
7160
statistonline в сообщении #1548106 писал(а):
Если возможно, разъясните, откуда такие сведения?
Вы правы, это только версия, хотя и правдоподобная. И автор оговаривает, что это только версия. Исправил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рецензии на хорошие/нормальные книги
Сообщение13.02.2022, 16:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
7160
Автор: Стивен Кранц
Название: Изменчивая природа математического доказательства. Доказать нельзя поверить
Жанр: научно-популярная литература
Область: математика, история математики, методология математики

Что такое математическое доказательство и зачем оно нужно? Как требования к доказательству менялись со временем? Что меняет компьютер в теории и практике математических доказательств? Что будут называть доказательством через сто лет? И как вообще выглядит работа современного математика? Этим вопросам посвящена книга Стивена Кранца, математика-исследователя с числом Эрдёша, равным 1, если вы понимаете, о чём я. Статья в англовики Steven G. Krantz убедительно показывает, что автор знает толк в математических доказательствах.

Сначала Кранц вводит читателя в предмет. Что такое доказательство, зачем нужно доказывать теоремы, какова роль интуиции и гипотез, что такое закон исключённого третьего и другие правила логики. Основные тезисы стары как мир. Доказательство – это рассуждение, убеждающее нас настолько, что мы готовы с его помощью убеждать других. Готовое математическое доказательство – это цепочка (ну или дерево) посылок и следствий, построенная по железным законам логики. Но когда математик придумывал это доказательство, его интуиция могла бродить самыми причудливыми путями, от которых в готовом продукте не осталось и следа и рассказывать о которых не принято, а было бы полезно. Ради краткости математики часто опускают детали доказательства, предоставляя их читателю. В результате они часто ошибаются, и иногда ошибки в опубликованных важных теоремах находятся спустя лет этак десять. Но если уж доказательство корректно, то оно на века: доказанное навсегда останется доказанным, если только требования к доказательствам не станут более строгими.

Несколько глав посвящены истории математики. Кранц даёт чрезвычайно беглый обзор от вавилонских табличек до современности. Конечно, он посвящён в основном становлению математических доказательств и развитию строгости математического языка. Кратко рассмотрена бурная эпоха начала XX в.: парадоксы теории множеств, интуиционизм, конструктивизм, теоремы Гёделя. При этом баек (честно обозначенных как байки) рассказано не меньше, чем фактов, но именно благодаря этому книга читается как роман, а не как справочник.

Целая глава посвящена теореме о четырёх красках как ярчайшему примеру computer-assisted proof. Это когда доказательство включает в себя компьютерную проверку офигиллиарда частных случаев, которую невозможно повторить вручную. Разумеется, такая практика порождает вопросы, в основном "зачем нам доказательство, которое мы не можем понять" и "как мы можем убедиться, что нигде не было бага".

Затем Кранц переходит к компьютерной проверке найденных человеком доказательств, а также автоматическому поиску новых доказательств. Автор приводит примеры нетривиальных теорем, доказательства которых были проверены автоматическими пруверами (теорема Гёделя о неполноте, теорема о жордановой кривой, теорема Пуссена и Адамара о распределении простых чисел). Есть и примеры интересных утверждений, доказательство которых было впервые найдено именно компьютером (гипотеза Робинсона об аксиоматике булевой алгебры).

Автор подробно останавливается на том, чем ещё компьютер может быть полезен математику (системы компьютерной алгебры, численные методы, визуализация данных и т.д.). Эти инструменты не дают готовых доказательств, но могут помочь учёному поискать закономерности в фактах или контрпримеры к гипотезе, проверить преобразования выражений, быстро решить громоздкие системы уравнений. В геометрических (в самом широком смысле) исследованиях важно, что компьютер позволяет буквально увидеть то, на что человеку не хватило бы пространственного воображения. Есть пример, когда компьютерная визуализация нетривиальных поверхностей натолкнула математиков на важную теорему (Хоффман, Хоффман и Миикс). Ну и, разумеется, рассказано о важности численных методов для прикладных расчётов.

Кранц настойчиво растолковывает читателю тезис "доказательством становится то, что сообщество математиков признаёт доказательством". Он приводит целый перечень доказательств, которые просто не были приняты сообществом, несмотря на то, что уважаемые математики опубликовали их в авторитетных журналах, и никто публично не ткнул пальцем в ошибку.

Отдельная тема – доказательства, слишком длинные, слишком сложные или слишком неаккуратно записанные. Подробно разбирается эпопея с классификацией простых конечных групп. Доказательство этого результата рассеянно по многочисленным работам сотен математиков, накопленным за полтора века. Оно никогда не было изложено в одном месте с начала до конца и без пропусков.
С. Кранц писал(а):
Майкл Ашбахер, ведущий авторитет в этой области, дал оценку, что полное доказательство должно занимать более 10000 страниц плотного математического текста, оставляющего значительную часть работы читателю.
Рассказывается также о доказательстве Хэйлса гипотезы Кеплера об упаковке сфер и эпопее по его проверке.
С. Кранц писал(а):
Двадцать венгерских математиков в течение трёх семестров вели семинар, посвящённый этой статье. В общей сложности они проработали над ней четыре года. А в конце сказали, что на 99% уверены, что она верна.
Приводятся и другие подобные примеры.

Отдельная глава посвящена "проклятым вопросам" – гипотезам Римана, Гольдбаха, P/NP. Много места отводится доказательству Перельманом гипотезы Пуанкаре и Уайлсом – Великой теоремы Ферма.

Также Кранц рассказывает, как выглядит жизнь учёного-математика: математические институты, механизмы публикации открытий и т.д. и т.п.

Любопытен взгляд автора на будущее математики. Он считает, что классическое доказательство не исчезнет, но станет лишь одним из нескольких принятых способов удостовериться в результате. Другими подходами будут computer-assisted proof, методы типа доказательства с нулевым разглашением из криптографии (приводящие к альтернативам "либо гипотеза верна, либо произошло событие, вероятность которого равна экспоненте в минус лохматой степени") и чуть ли не физические эксперименты. Дело в том, что Кранц полагает: математика будет всё больше сближаться с другими науками. Он исходит из того, что даже чистые математики всё чаще помогают кому-то с прикладными расчётами (по крайней мере, так обстоит дело в США; сам Кранц, к примеру, разрабатывает математические модели для лицевой хирургии). А с другой стороны, другим наукам требуется всё больше математики. Так что, по мысли Кранца, будет происходить перекрёстное опыление подходами между математикой и её приложениями. Кранцу, конечно, виднее, но я в филиале агентства ОБС слыхал в основном противоположное. Что чистая математика окончательно улетела в космос и оторвалась от потребностей практики. Что даже математическая физика сейчас не решает уравнения, а доказывает коммутативность диаграмм, и физики-экспериментаторы не знают, что им с этими диаграммами делать. Что разные ветви математики настолько разрослись каждая в свою сторону, что перестали соприкасаться друг с другом, что уж говорить о взаимодействии с другими науками.

Попытаюсь ответить на вопрос, для кого предназначена книга Кранца, кому она будет понятна и интересна. Сам автор старался сделать книгу доступной для максимально широкой аудитории. Отсюда многостраничные разжёвывания элементарных логических правил типа modus ponens, переупрощения вроде "аксиома принимается без доказательства в силу своей очевидности" и многократные повторения банальных истин. Вместе с тем Кранц, рассказывая об истории математики и приводя примеры тех или иных приключений с доказательствами, был вынужден упомянуть целую гору математических понятий, от элементарных до весьма эзотерических. Самые простые и важные из них (группа, простые числа и т.д.) он точно определяет и подробно разбирает, большую часть описывает рукомахательно, а многие просто упоминает без пояснений. В результате для читателя, в последний раз видевшего математику в средней школе, многие фрагменты текста должны выглядеть как "имярек внёс важный вклад в теорию глокой куздры и трансцендентного бармаглота: он показал, что сепулька дудонится". Мне трудно судить, насколько это помешает усвоить основные идеи книги. Но знакомство хотя бы с азами анализа и алгебры (понятие об обычных и частных производных, дифурах, рядах, матрицах, группах, кольцах и т.д.) существенно облегчит восприятие книги.

Безусловно, читателю, впервые заинтересовавшемуся методологией математики, стоит начать именно с книги Кранца (а не, например, разрекламированных сочинений Мориса Клайна). А вот заядлый любитель текстов о природе математики не найдёт в этой книге ничего принципиально нового. Эти же идеи и значительная часть упомянутых примеров многократно разбирались в других местах. Вот хотя бы в лекциях Вавилова (конспект) и Матиясевича (attention, час видео).

Однако даже для искушенного читателя книга представляет интерес в том смысле, что все аспекты вопроса «что такое доказательство и что нам с ним делать» сведены под одной обложкой, подробно разжёваны и богато проиллюстрированы примерами. При этом часть примеров очень свежи: книга была издана в 2011 г., и в ней упоминаются яркие работы, сделанные в XXI веке. Так что её полезно иметь под рукой как достаточно полный и качественный обзор обширного и непростого поля дебатов, скрытого за простеньким с виду вопросом: «Что математик имеет в виду, когда говорит, что доказал теорему?».

 Профиль  
                  
 
 Re: Рецензии на хорошие/нормальные книги
Сообщение10.09.2022, 13:34 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
7160
Авторы: Безручко Б. П., Короновский А. А., Трубецков Д. И., Храмов А. Е.
Название: Путь в синергетику. Экскурс в десяти лекциях
Жанр: научно-популярная литература
Область: синергетика

В этой книге авторы предпринимают попытку шапочно познакомить широкого читателя с обширной и разнородной областью. Под словом «синергетика» авторы понимают науку о возникновении структур в неравновесных и нелинейных системах. Но поскольку и такие системы, и возникающие в них структуры очень разнообразны, фактически это название объединяет несколько наук, часто достаточно далеких друг от друга как по предмету, так и по методу. Книга посвящена разным вопросам, написана четырьмя разными людьми и весьма неоднородна как по стилю, так и по содержанию.
Приведем ее оглавление:

(оглавление)

Лекция первая. Что такое «синергетика»?
Лекция вторая. Моделирование — универсальный инструмент синергетики (или что общего у груза на пружинке с зайцами и лисами)
Лекция третья. Математические понятия, без которых не обойтись
Лекция четвертая. Динамическая система
Лекция пятая. Колебания
Лекция шестая. Волны
Лекция седьмая. Примеры процессов самоорганизации в различных системах
Лекция восьмая. Бифуркации
Лекция девятая. Клеточные автоматы
Лекция десятая. Динамический хаос


Как видим, в нескольких первых лекциях авторы пытаются ввести в курс дела гуманитариев (все остальные уже знают, что общего у груза на пружинке с зайцами и лисами). Но сделать книгу понятной для гуманитариев им не удалось, и торопливые пояснения первых лекций помогают в этом не больше, чем разбросанные по книге цитаты из прозы и поэзии. Уже в шестой главе авторы вовсю пишут дифференциальные уравнения в частных производных. Да и словесные объяснения во многих местах не лучше. Приведем характерную цитату:

Цитата:
Поскольку образование автопаттернов — результат развития пространственно-неоднородных неустойчивостей с их последующей стабилизацией за счет баланса между диссипативными расходами и поступлением энергии от источника неравновесности, то процесс образования автопаттерна похож на установление колебаний в распределенных автоколебательных системах (РАС). Для последних определение звучит так: РАС — неконсервативная система, в которой в результате развития неустойчивости возможно установление волновых или колебательных движений, параметры которых (амплитуда и форма колебаний и волн, частота, а в общем случае спектр колебаний) определяются самой системой и не зависят от изменения начальных условий.
Если авторы полагают, что для рядового лингвиста или психолога это звучит понятнее тарабарского языка, они ошибаются. Правда, в книге есть места, действительно понятные широкому читателю и при этом содержательные (например, лекция о клеточных автоматах), но их надо искать. А все остальное лучше читать, имея за плечами хотя бы первый курс естественно-научного, математического или технического факультета.

В некоторых лекциях авторы явно пытаются впихнуть невпихуемое и утоптать неутоптаемое. Например, в лекцию о волнах втиснуты линейные волны, уравнение простой (нелинейной) волны, ударные волны и солитоны. В лекцию о самоорганизации – реакционно-диффузные модели, вихри Тейлора, ячейки Бенара и рябь Фарадея. Авторы как могли старались опустить подробности и ухватить существенные черты явлений, но изложение «галопом по европам» никогда не способствовало ясному пониманию.

Так полезна ли эта книга? Безусловно, но не как учебник, а как ориентир, о чем вообще речь в этой вашей синергетике и какие учебники читать, чтобы разобраться подробнее в той или иной ее области. В книге приведен солидный список рекомендуемой литературы (54 пункта), не считая многочисленных подстрочных ссылок. А тем, кто уже знаком с конкретикой, может быть полезно заглянуть в эти лекции, посмотреть на нее с высоты птичьего полета и разглядеть лес за деревьями. Это тоже важная задача, которой посвящено не так уж много книг. В этом отношении «Путь в синергетику» напоминает лекции Босса по математике: учиться по ним нельзя, но можно понять, чему именно выучился.

 Профиль  
                  
 
 Re: Рецензии на хорошие/нормальные книги
Сообщение25.09.2022, 20:40 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
7160
Автор: У. Р. Эшби
Название: Введение в кибернетику
Жанр: научно-популярная литература
Область: кибернетика
Год: 1956

«Введение в кибернетику» Эшби решает две задачи. Во-первых, донести до читателя очевидную в наше время мысль: управление и связь в машинах, живом организме и даже человеческом обществе можно рассматривать с единых позиций и с привлечением математики. А во-вторых, сформулировать конкретные законы этого самого управления и связи.

«Введение в кибернетику» вышло десятилетием позже прославленной «Кибернетики» Винера. При почти идентичном названии эти книги совершенно не похожи друг на другая. Труд Винера – сборник статей, слабо связанных друг с другом по содержанию. Примерно половина из них рассчитана на читателя, хорошо знакомого с математикой: остальные не разглядят глубоких обобщений за нагромождением формул и терминов. Другая половина имеет философский размах и философский же (рукомахательный) уровень аргументации.
Напротив, книга Эшби – последовательное и ясное введение в предмет, балансирующее на грани между хорошим научпопом и полноценным учебником. Все основные утверждения книги формулируются на математическом языке с помощью toy models. После каждой главы приведены задачи на пройденный материал с ответами.

И все же ни один математик не посчитал бы выводы Эшби достаточно обоснованными. Обычно изложение выглядит так. Автор начинает с примеров, понятных «на пальцах». Затем абстрагирует их до дискретной математической модели. Здесь дискретной я называю модель, имеющую конечное число переменных, каждая из которых имеет конечное же число возможных значений. В моделях Эшби эти числа не только конечные, но и небольшие, так что все необходимые зависимости можно задать таблицей. Автор исследует эту модель и делает вывод. Иногда этот вывод – просто обобщение нескольких тщательно разобранных частных случаев. Иногда полноценное математическое доказательство, но работающее лишь для дискретных моделей. А затем Эшби волевым решением назначает этот вывод применимым не только к неопределенно широкому классу математических моделей, но и к реальному миру.

Некоторые из сделанных таким путем утверждений можно доказать и строго. Например, тот факт, что за достаточное время даже узкий канал может передать сколько угодно информации. Здесь отсутствие полноценного доказательства – неизбежная плата за стремление автора использовать лишь самую элементарную математику: в книге нет ничего сложнее логарифма. Но иногда Эшби обобщает чересчур смело. Тезисы вроде «сложные системы демонстрируют сложное поведение» или «чем больше воздействий на систему мы оказали, тем больше вероятность, что ее состояние определится этими воздействиями, а не начальным состоянием» явно нуждаются в оговорках, поскольку контрпримеры (опять же в виде toy models) строятся достаточно легко. И вообще, если это математика, то нужны нормальные доказательства и четко прописанные условия теорем. А если наука о вполне материальных системах, на чем Эшби постоянно настаивает, то нужны полноценные эксперименты, а не бытовые наблюдения.

Отдельно стоит сказать о терминологическом и понятийном аппарате книги. Она написана не математиком и не для математиков. Даже если Эшби и знает общепринятую терминологию, он зачастую пренебрегает ею в пользу наглядности. Так что он говорит «разнообразие» вместо «мощность множества», «машина» вместо «функция» и т.д. «Энтропия» или «фазовое пространство» упоминаются, «конечный автомат» – нет, хотя он почти всю книгу только и говорит что о конечных автоматах (возможно, в 1950-х термин еще не устоялся?). Мотивацию Эшби можно понять, но иногда своеобразие его языка изрядно мешает. Мне понадобилось ощутимое время, чтобы перевести его «закон необходимого разнообразия» на язык множеств и функций, очистив от словесной шелухи. И оказалось, что это на редкость тривиальное утверждение.

Математическое содержание книги – это с точностью до обозначений попурри из простейших понятий теории конечных автоматов, теории информации, теории динамических систем с дискретным временем и, возможно, еще каких-то дисциплин. Но это не значит, что изложение выглядит хаотично. Напротив, оно весьма упорядоченно и последовательно. Просто из дня сегодняшнего видно, в какие стороны разрослось это дерево.

В целом книга сегодня, конечно же, представляет в основном исторический интерес. Когда читаешь Винера, нет-нет да и закрадывается ощущение, что в середине XX в. первопроходцы нащупали нечто многообещающее, что продолжатели упустили. Прозрачная как слеза книга Эшби, обходящаяся без многозначительных намеков на туманные надежды, удостоверяет: ничего не упустили, все на месте, все развивается. Правда, под разными названиями и в разных разделах математики и computer science.

Да, разные физические, биологические и даже социальные объекты иногда допускают одно и то же (в первом приближении) кибернетическое описание, в этом смысле междисциплинарность состоялась. Та же теория оптимального управления применяется хоть в экономике, хоть в проектировании ракет. Но разнообразие собственно кибернетических систем оказалось не меньше разнообразия физических. Много ли общего, скажем, у нейронных сетей и клеточных автоматов? Если вдруг много (не то чтобы я хорошо разбирался в тех и других), самостоятельно подберите пару максимально непохожих дисциплин. Суть в том, что первопроходцы нашли больше, чем искали. Они открыли еще одну – информационную – грань реальности, и для ее описания одного языка оказалось мало. Поэтому нет единой науки об информации, связи и управлении, есть комплекс разных наук с разным понятийным и математическим аппаратом.

И тем более нет и не могло быть волшебной палочки, которая вотпрямщас ответит на вопросы всех гуманитарных и общественных наук от психологии до политологии. Верно, что многие задачи этих наук по существу кибернетические. Из этого не следует, что уровень кибернетики даже и 2020-х годов позволяет их хотя бы точно поставить, не говоря уже о решении.

Что ж, надежды на великий синтез и золотой ключик не оправдывались никогда, хоть с кибернетикой, хоть с синергетикой, хоть с формализацией математики. Мир всегда оказывается сложнее, а горизонт – дальше, чем представляется опьяненному перспективами воображению. «Но все-таки... все-таки впереди огни!».

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5

Модераторы: Модераторы, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group