Аристотелизмы

[Утундрий]

Внезапно с ужасом осознал, что не могу доказать тривиальный факт: если трёхмерное тело вдоль любого направления в пространстве проектируется на ортогональную этому направлению плоскость в круг, то тело это — сфера. Натолкните на любую мысль.

[dgwuqtj]

Предлагаю посмотреть на пару точек в теле на наибольшем расстоянии.

[EUgeneUS]

В 2D, кстати, это не так (треугольник Рёло).

[Утундрий]

EUgeneUS в сообщении #1671814 писал(а):

треугольник Рёло

У Пола Андерсона (е.м.н.и.п.) был рассказ про инопланетных торговцев, попавших в беду на планете, местное население которой обожествило круг. Так им там ролики не разрешали делать, чтобы двигатель перетащить. Выкрутились как раз за счёт использования фигуры равной толщины, отличной от круга.

[EUgeneUS]

Утундрий в сообщении #1671810 писал(а):

если трёхмерное тело вдоль любого направления в пространстве проектируется на ортогональную этому направлению плоскость в круг, то тело это — сфера.

Если круг всегда одного и того же радиуса, то вроде бы не сложно.
А если разного радиуса, то так не бывает - тоже вроде бы не сложно. Но это не точно.

[drzewo]

EUgeneUS в сообщении #1671933 писал(а):

Если круг всегда одного и того же радиуса, то вроде бы не сложно.

Напишите аккуратное доказательство. Очень интересно.

[Sender]

Кстати, если ограничиться тремя ортогональными видами, этого явно недостаточно: можно рассмотреть пересечение трёх цилиндров одинакового радиуса с взаимно ортогональными осями, пересекающимися в одной точке. Соображение распространяется на произвольное конечное число видов.

-- Ср янв 29, 2025 18:44:52 --

С другой стороны, пересечение всех одинаковых цилиндров с осями, проходящими через некоторую точку, таки даст нам шар: ясно, что он содержится во всех, а для любой точки вне шара найдётся отсекающий цилиндр.

-- Ср янв 29, 2025 18:49:02 --

Легко показать, что оси всех цилиндров должны попарно пересекаться: если для каких-то двух это не так, соответствующий круг получится урезанным. Осталось доказать, что они все пересекаются в одной точке.

[dgwuqtj]

Будем считать, что тело — это выпуклый компакт. Возьмём точки $A$ и $B$ в теле на наибольшем расстоянии друг от друга. Можно считать, что $A = (0, 0, 1)$ и $B = (0, 0, -1)$, тогда всё тело находится в промежутке $-1 \leq z \leq 1$. При проекции вдоль любого горизонтального направления получается круг, причём $A$ и $B$ переходят в концы диаметра, поэтому начало координат проецируется в центр круга. Теперь возьмём прообразы этих кругов (цилиндры) и пересечём по всем горизонтальным направлениям, получится как раз единичный шар, так что тело содержится внутри него.

Если же тело строго меньше шара, то какую-то точку сферы можно строго отделить от тела плоскостью. При проекции вдоль горизонтальной касательной к этой плоскости круг нужного диаметра не получится.

[Sender]

Отлично, осталось понять, что с невыпуклыми. Наверное, можно ограничиться односвязными компактами без внутренних полостей. Раз уж оно содержится в шаре, а все горизонтальные виды в конструкции dgwuqtj -- круги, границы их прообразов могут быть только меридианами этого шара, т.е. тело с неизбежностью содержит сферу.

[sergey zhukov]

Утундрий в сообщении #1671816 писал(а):

У Пола Андерсона

Вот буквально вчера его читал. Высосана там проблема из пальца, конечно.

Допустим, что это тело - не шар. Тогда оно обладает бОльшим, чем шар, объемом, и можно от него отрезать, превратив в шар, который тоже обладает этим свойством ( отбрасывать круглую тень по всем направлениям). Когда будем отрезать, повернем тело так, чтобы отрезаемая часть была частью, которая формирует край тени. Получится ущербная тень. Значит, это тело может быть только шаром.

[EUgeneUS]

drzewo в сообщении #1671941 писал(а):

Напишите аккуратное доказательство. Очень интересно.

Аккуратное - вряд ли. Только рабоче-крестьянское.
Рассмотрим диаметры проекции $A'C'$ и $B'D'$. Точками $A', B', C', D'$ проекции соответствуют точки поверхности тела $A,B,C,D$ (их может быть несколько для каждой точки проекции, тогда выберем из них любые).
Есть следующие варианты
а) $A,B,C,D$ лежат в одной плоскости. Тогда эта плоскость обязана быть параллельна плоскости проекции. Иначе, тело можно повернуть так, чтобы какая-то диагональ проекции четырехугольника $ABCD$ увеличилась и стала больше диаметра проекции.
б) $A,B,C,D$ не лежат в одной плоскости. Тогда один из треугольников $ABC$ или $ACD$ не лежит в плоскости, параллельной плоскости проекции. Пусть это треугольник $ABC$. Повернем тело вокруг $AC$ так, чтобы треугольник $ABC$ оказался в плоскости, параллельной плоскости проекции. $B''$ - новая точка проекции точки $B$. Расстояние от $A'C'$ (а этот отрезок всё ещё диаметр проекции) до $B''$ больше, чем расстояние от $A'C'$ до $B'$. $B''$ вывалилась из круга.

Отсюда: все сечения тела, в которых достигается максимальное расстояние между точками сечения (равное диаметру проекции) - окружности.

-- 29.01.2025, 20:04 --

Далее схематично

1. Все сечения тела, в которых достигается максимальное расстояние между точками сечения - окружности с одинаковым радиусом (это заранее предположили) и общим центром.
2. Тело удовлетворяющее (1) - сфера (шар). Из (1) и определения сферы (шара).

[schmetterling]

Sender в сообщении #1671951 писал(а):

Отлично, осталось понять, что с невыпуклыми.

Возьмём выпуклую оболочку, а затем замыкание — тогда с проекциями случится то же самое.

То есть компактно-выпуклая оболочка нашего тела совпадает с шаром, тут, кажется, не так много вариантов.

[Geen]

dgwuqtj в сообщении #1671948 писал(а):

При проекции вдоль любого горизонтального направления получается круг, причём $A$ и $B$ переходят в концы диаметра

А почему, можно чуть подробнее, пожалуйста?

А вообще, вот пусть есть тело в $n$-мерное пр-ве, и все проекции на $k$-мерное есть шары - какие фигуры, отличные от шара могут быть?

[mihaild]

Geen в сообщении #1672002 писал(а):

А почему, можно чуть подробнее, пожалуйста?

Потому что расстояния между их проекциями равно $2$, а расстояние между проекциями любях двух точек не больше $|AB| = 2$. Так что круг не может иметь диаметра больше $2$ (потому что нет точек, чьи проекции на таком расстоянии), не может иметь диаметра меньше $2$, а значит диаметр ровно $2$, и любые две точки на ровно таком расстоянии - лежат на концах диаметра.

[Geen]

mihaild
Вероятно я сейчас не совсем адекватен, и, к примеру, завтра утром я смогу понять эти соображения. Но сейчас я просто не вижу разницу между 2D и 3D в Ваших доводах.