Аристотелизмы

[dgwuqtj]

Geen в сообщении #1672005 писал(а):

Но сейчас я просто не вижу разницу между 2D и 3D в Ваших доводах.

Тут разницы и не будет, в двумерном случае получится просто отрезок с концами в виде образов $A$ и $B$. Отличие трёхмерного случая в том, что прообразы кругов в пересечении дают шар. Мы же рассматриваем проекции только в направлениях, перпендикулярных отрезку $AB$.

[mihaild]

Geen в сообщении #1672005 писал(а):

Но сейчас я просто не вижу разницу между 2D и 3D в Ваших доводах

Её и нет. Разница дальше - когда мы берем пересечение всех цилиндров, перпендикулярных $AB$. В пространстве для любой точки вне шара есть цилиндр с осью, перпендикулярной $AB$, разделяющий шар и точку. А на плоскости вообще цилиндр с такой осью только один, и он многого отделить он не может.

[schmetterling]

Geen
Утверждение: круг, который содержит точки $A$, $B$, но не содержит точек на большем расстоянии есть круг с центром в $(A+B)/2$ радиуса $|A-B|/2$.
Это наглядно очевидно. С одной стороны диаметр — это прямая, соединяющая две его точки на наибольшем расстоянии, а с другой стороны — прямая, проходящая через центр круга, причём это верно для кругов в любой размерности.

А вот как я понимаю доказательство dgwuqtj исходного утверждения: взяли точки $A$, $B$ нашего тела на наибольшем возможном расстоянии друг от друга. Проводим через $AB$ (какую-нибудь) плоскость и начинаем её крутить. В каждый момент времени проекция тела на эту плоскость содержит точки $A$, $B$, но не содержит точек на большем расстоянии, значит, эта проекция — круг с центром в $(A+B)/2$ радиуса $|A-B|/2$, но тогда и пересечение тела с плоскостью лежит в таком круге. Поворачивая плоскость, видим, что тело находится в шаре с центром в $(A+B)/2$ радиуса $|A-B|/2$.
Остаётся выяснить, почему тело содержит сферу. Но если из шара $\operatorname{Ball}((A+B)/2; |A-B|/2)$ выкинуть точку $C$ на границе, проекция на плоскость $ABC$ будет уже строго меньше круга $\operatorname{Circle}((A+B)/2; |A-B|/2)$, что противоречит абзацу выше.

В двумерном случае разница в том, что нечего крутить вокруг диаметра тела — проекции берутся одномерные, диаметр тоже одномерный.