Что-то я наврал в своём примере, не надо его читать. Хотя бы потому что у

группа автоморфизмов — это

...
Что значит канонический гомоморфизм?
Не любой автоморфизм группы

сохраняет её подгруппу

. Те, которые сохраняют, образуют подгруппу

, называемую нормализатором

в

. Если взять такой автоморфизм из нормализатора, то он как-то переставляет элементы

, тем самым есть отображение

. Вопрос о том, любой ли автоморфизм

продолжается до автоморфизма всей группы, — это как раз вопрос о сюръективности этого гомоморфизма, ведь любое продолжение будет в нормализаторе.
Есть теорема: если автоморфизм нашей группы продолжается до автоморфизма любой группы, куда наша группа вкладывается, то он внутренний.
Я нашёл статью P. E. Schupp. A characterization of inner automorphisms. Только там группа

может получиться счётной, а не конечной, вообще говоря.
Однако, потеря автоморфизмов при вложении одной группы в другую ещё не гарантирует того, что элементы перестанут быть эквивалентными, поскольку эквивалентность может устанавливаться несколькими различными способами, и потеря только части из них может всё ещё оставлять орбиты элементов прежними.
А это вообще третий вопрос: могут ли элементы

, сопряжённые при помощи автоморфизма, не быть сопряжёнными при помощи автоморфизмов

. Причём речь идёт по примитивные элементы, судя по всему (которые порождают

).
-- 26.01.2025, 11:22 --Попробуем другой пример. Возьмём группу

, где

простое число. Это группа обратимых матриц

над полем

с определителем

, профакторизованная по подгруппе скалярных матриц (есть две скалярные матрицы с определителем

, это единичная и минус единичная). Её группа автоморфизмов, если верить
источнику, — это

, то есть группа всех обратимых матриц, профакторизованных по подгруппе скалярных матриц. Если что,

и

.
В группе

есть образ группы диагональных матриц с определителем

, то есть матриц вида

, они образуют группу

(раз мы факторизуем по скалярным матрицам). Условие

гарантирует, что эта подгруппа нетривиальна. Если посчитать её нормализатор в

, то окажется, что он состоит из классов всех диагональных матриц (их

штука: всего диагональных было

, а потом мы профакторизовали по скалярным), а также классов антидиагональных матриц.
Такими автоморфизмами можно перегнать матрицу

только в себя или в

, то есть единственный нетривиальный автоморфизм

, который получается, — это обращение. В случае

(кроме

) не все автоморфизмы циклической группы продолжаются до автоморфизмов

, это к второму вопросу.
Ну и для третьего вопроса тоже получается пример: при

будет циклическая подгруппа

с четыремя образующими, под действием автоморфизмов

(нормализующих

) они разбиваются на два класса эквивалентности.
Для первого вопроса пример получается при

. А именно, тогда будет циклическая подгруппа

. У этой циклической подгруппы группа автоморфизмов изоморфна

, но в группе автоморфизмов

нет элементов порядка

(так как её порядок

не делится на

).