Центр группы, фактор-группа и внутренние автоморфизмы

[B@R5uk]

Наткнулся тут на утверждение, что

$$\operatorname{Int}(G)\cong G/\operatorname{Z}(G)$$

На сколько сложно доказательство этого и где бы можно было бы почитать про него?

А ешё, верно ли что группа внутренних автоморфизмов является нормальной подгруппой группы автоморфизмов?

$$\operatorname{Int}(G)\triangleleft\operatorname{Aut}(G)$$

[dgwuqtj]

Есть гомоморфизм $I \colon G \to \mathrm{Aut}(G)$, который переводит элемент $g$ в операцию сопряжения при помощи $g$. Его образ — это $\mathrm{Int}(G)$, по определению. А ядро, как легко проверить, — как раз центр. Так что остаётся вспомнить первую теорему об изоморфизме.

А если взять произвольный автоморфизм $\sigma \in \mathrm{Aut}(G)$, то $\sigma \circ I(g) = I(\sigma(g)) \circ \sigma$, поэтому группа внутренних автоморфизмов нормальна в группе всех автоморфизмов.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1671486 писал(а):

Так что остаётся вспомнить первую теорему об изоморфизме.

Спасибо, этот момент прояснился.

dgwuqtj в сообщении #1671486 писал(а):

$\sigma \circ I(g) = I(\sigma(g)) \circ \sigma$

Вот это как-то совсем не очевидно.

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1671487 писал(а):

Вот это как-то совсем не очевидно

$(\sigma \circ I(g))(x) = \sigma(gxg^{-1}) = \sigma(g) \sigma(x) \sigma(g)^{-1} = f(\sigma(x))$, что такое $f$?

[B@R5uk]

$$f=I(\sigma(g))$$

Спасибо.

[B@R5uk]

А верно ли, что

$$\mathbb{Z}_n<G\Longrightarrow\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_n\right)<\mathrm{Aut}\left(G\right)$$

Или же групповая операция в G может сделать эквивалентные элементы цикла неэквивалентными?

Я знаю, что в общем случае произвольной подгруппы это не работает, вот тут я даже довольно броский пример приводил, хотя он, наверное, не самый простой. Наиболее простым контрпримером, пожалуй, будет группа диэдра порядка 8, которая представима в виде полупрямого произведения:

$$\mathrm{D}_8=\mathbb{Z}_2^2\rtimes\mathbb{Z}_2=\left\langle\;a,\;b,\;c\;|\;a^2=b^2=[a,\;b]=c^2=e,\;a^c=a,\;b^c=ab,\;(ab)^c=b\;\right\rangle$$

Вне зависимости от того, какой именно порождающий гомоморфизм используется в полупрямом произведении, указанный выше, или же один из двух следующих:

$$\mathbf{2.}\;a^c=ab,\;b^c=b,\;(ab)^c=a,\quad\quad \mathbf{3.}\;a^c=b,\;b^c=a,\;(ab)^c=ab;$$

два нетривиальных элемента группы Клейна меняются местами, а один остаётся неподвижным. Неподвижный элемент становится центром (так как коммутирует со всеми тремя образующими) вновь полученной группы диэдра, что ломает эквивалентность нетривиальных элементов исходной группы Клейна (ниже группа диэра порядка 8 сама себе группа автоморфизмов):

$$\mathbb{Z}_2^2<\mathbb{Z}_2^2\rtimes\mathbb{Z}_2$$

$$\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_2^2\right)=\mathrm{D}_6\not<\mathrm{D}_8=\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_2^2\rtimes\mathbb{Z}_2\right)$$

Может ли подобное случиться с эквивалентными элементами циклической подгруппы?

[dgwuqtj]

B@R5uk в сообщении #1671527 писал(а):

А верно ли, что

$$\mathbb{Z}_n<G\Longrightarrow\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_n\right)<\mathrm{Aut}\left(G\right)$$

Или же групповая операция в G может сделать эквивалентные элементы цикла неэквивалентными?

Это же разные вопросы. Первый — существует ли какое-то вложение $\mathrm{Aut}(C_n)$ в $\mathrm{Aut}(G)$. Второй — обязан ли канонический гомоморфизм $\mathrm N_{\mathrm{Aut}(G)}(C_n) \to \mathrm{Aut}(C_n)$ быть сюръективным.

-- 25.01.2025, 15:51 --

Возьмём группу $A_7$ (совпадающую со своей группой автоморфизмов) и её подгруппу $C_7$. Нормализатор подгруппы в $S_7$ — это буквально $\mathrm{Aut}(C_7)$, а его пересечение с $A_7$ вдвое меньше, так что он индуцирует только половину автоморфизмов. Это ответ на второй вопрос.

На первый вопрос ответ получается из этого же примера, так как в $A_7$ есть только одна подгруппа $C_7$ с точностью до сопряжения.

[mihaild]

Я примерно это спрашивал на math.se пару лет назад, но ответов не получил.
Из найденного самостоятельно.

B@R5uk в сообщении #1671527 писал(а):

Или же групповая операция в G может сделать эквивалентные элементы цикла неэквивалентными?

Может. Есть теорема: если автоморфизм нашей группы продолжается до автоморфизма любой группы, куда наша группа вкладывается, то он внутренний. Поскольку у абелевых групп внутренних автоморфизмов нет (кроме тривиального), то для любого автоморфизма $\mathbb Z_n$ существует группа $G$, куда $\mathbb Z_n$ вкладывается, и этот автоморфизм до автоморфизма $G$ не продолжается.

[B@R5uk]

dgwuqtj в сообщении #1671545 писал(а):

Это же разные вопросы.

Да. Я почему-то подумал, что положительный ответ на второй приведёт к отрицательному ответу на первый, но видимо, это совсем разные вопросы. Я извиняюсь за свою безграмотность, но ваш ответ для меня прозвучал как иностранный язык с некоторыми знакомыми словами. Даже не смог выудить для себя, являются ли утверждения положительными или отрицательными ответами, поскольку они выше моей компетенции. Я въехал, что значит сюръективность (покрытие всего множества-образа) в отличие от инъективности (разные аргументы — разные образы), но не уверен, что это надолго задержится без практики. Что значит канонический гомоморфизм?

dgwuqtj в сообщении #1671545 писал(а):

$\mathrm N_{\mathrm{Aut}(G)}(C_n) \to \mathrm{Aut}(C_n)$

mihaild в сообщении #1671566 писал(а):

Я примерно это спрашивал на math.se пару лет назад, но ответов не получил.

Я тут поразмышлял немного и вспомнил следующие два утверждения. Во-первых, группа автоморфизмов циклической группы $_{_{.}}\mathrm{Aut}\left(\mathbb{Z}_n\right)$ — это группа чётного порядка, потому что в ней всегда есть автоморфизм, который заменяет элементы исходного цикла на их обратные. Во-вторых, существуют группы, группы автоморфизмов которых имеют нечётный порядок. Если пример такой "нечётной" группы не является степенью двойки (в статье, на сколько я понял, дана граница, а не пример приведён), то эти два утверждения противоречат положительному ответу на мой первый вопрос.

Это, конечно, ещё не доказательство (надо прояснить ситуацию с порядком "нечётной" группы), но намекает на отрицательный ответ. Ещё остаётся открытым вопрос является ли контрпример с "нечётной" группой минимальным, или же можно найти что-нибудь поменьше среди "обычных" групп.

mihaild в сообщении #1671566 писал(а):

Есть теорема

Спасибо! Вдвойне спасибо, за то что сформулировали теорему понятным языком. Кое-что прояснилось. Она сложно доказывается? Где про это можно посмотреть? Однако, потеря автоморфизмов при вложении одной группы в другую ещё не гарантирует того, что элементы перестанут быть эквивалентными, поскольку эквивалентность может устанавливаться несколькими различными способами, и потеря только части из них может всё ещё оставлять орбиты элементов прежними. Кроме случаев групп $_{_{.}}\mathbb{Z}_3$ и $_{_{.}}\mathbb{Z}_4$, так как у них только один нетривиальный автоморфизм, и его потеря приведёт к разрушению орбиты. Интересно, каковы для этих двух групп минимальные примеры таковых вложений?

[dgwuqtj]

Что-то я наврал в своём примере, не надо его читать. Хотя бы потому что у $A_7$ группа автоморфизмов — это $S_7$...

B@R5uk в сообщении #1671592 писал(а):

Что значит канонический гомоморфизм?

Не любой автоморфизм группы $G$ сохраняет её подгруппу $C_n$. Те, которые сохраняют, образуют подгруппу $\mathrm N_{\mathrm{Aut}(G)}(C_n) = \{\sigma \in \mathrm{Aut}(G) \mid \sigma(C_n) = C_n\} \leq \mathrm{Aut}(G)$, называемую нормализатором $C_n$ в $\mathrm{Aut}(G)$. Если взять такой автоморфизм из нормализатора, то он как-то переставляет элементы $C_n$, тем самым есть отображение $\mathrm N_{\mathrm{Aut}(G)}(C_n) \to \mathrm{Aut}(C_n)$. Вопрос о том, любой ли автоморфизм $C_n$ продолжается до автоморфизма всей группы, — это как раз вопрос о сюръективности этого гомоморфизма, ведь любое продолжение будет в нормализаторе.

mihaild в сообщении #1671566 писал(а):

Есть теорема: если автоморфизм нашей группы продолжается до автоморфизма любой группы, куда наша группа вкладывается, то он внутренний.

Я нашёл статью P. E. Schupp. A characterization of inner automorphisms. Только там группа $G$ может получиться счётной, а не конечной, вообще говоря.

B@R5uk в сообщении #1671592 писал(а):

Однако, потеря автоморфизмов при вложении одной группы в другую ещё не гарантирует того, что элементы перестанут быть эквивалентными, поскольку эквивалентность может устанавливаться несколькими различными способами, и потеря только части из них может всё ещё оставлять орбиты элементов прежними.

А это вообще третий вопрос: могут ли элементы $C_n$, сопряжённые при помощи автоморфизма, не быть сопряжёнными при помощи автоморфизмов $G$. Причём речь идёт по примитивные элементы, судя по всему (которые порождают $C_n$).

-- 26.01.2025, 11:22 --

Попробуем другой пример. Возьмём группу $G = \mathrm{PSL}(2, p)$, где $p \geq 5$ простое число. Это группа обратимых матриц $2 \times 2$ над полем $\mathbb F_p$ с определителем $1$, профакторизованная по подгруппе скалярных матриц (есть две скалярные матрицы с определителем $1$, это единичная и минус единичная). Её группа автоморфизмов, если верить источнику, — это $\mathrm{PGL}(2, p)$, то есть группа всех обратимых матриц, профакторизованных по подгруппе скалярных матриц. Если что, $|\mathrm{PGL}(2, p)| = p^3 - p$ и $|\mathrm{PSL}(2, p)| = \frac {p^3 - p} 2$.

В группе $G$ есть образ группы диагональных матриц с определителем $1$, то есть матриц вида $\bigl(\begin{smallmatrix} s & 0 \\ 0 & s^{-1} \end{smallmatrix}\bigr)$, они образуют группу $C_{\frac {p - 1} 2}$ (раз мы факторизуем по скалярным матрицам). Условие $p \geq 5$ гарантирует, что эта подгруппа нетривиальна. Если посчитать её нормализатор в $\mathrm{PGL}(2, p)$, то окажется, что он состоит из классов всех диагональных матриц (их $p - 1$ штука: всего диагональных было $(p - 1)^2$, а потом мы профакторизовали по скалярным), а также классов антидиагональных матриц.

Такими автоморфизмами можно перегнать матрицу $\bigl(\begin{smallmatrix} s & 0 \\ 0 & s^{-1} \end{smallmatrix}\bigr)$ только в себя или в $\bigl(\begin{smallmatrix} s^{-1} & 0 \\ 0 & s \end{smallmatrix}\bigr)$, то есть единственный нетривиальный автоморфизм $C_{\frac {p - 1} 2}$, который получается, — это обращение. В случае $p \geq 11$ (кроме $p = 13$) не все автоморфизмы циклической группы продолжаются до автоморфизмов $G$, это к второму вопросу.

Ну и для третьего вопроса тоже получается пример: при $p = 11$ будет циклическая подгруппа $C_5$ с четыремя образующими, под действием автоморфизмов $G$ (нормализующих $C_5$) они разбиваются на два класса эквивалентности.

Для первого вопроса пример получается при $p = 23$. А именно, тогда будет циклическая подгруппа $C_{11} \leq \mathrm{PSL}(2, 23)$. У этой циклической подгруппы группа автоморфизмов изоморфна $C_{10}$, но в группе автоморфизмов $\mathrm{PSL}(2, 23)$ нет элементов порядка $5$ (так как её порядок $23^3 - 23$ не делится на $5$).

[B@R5uk]

mihaild в сообщении #1671566 писал(а):

Поскольку у абелевых групп внутренних автоморфизмов нет (кроме тривиального), то для любого автоморфизма $\mathbb Z_n$ существует группа $G$, куда $\mathbb Z_n$ вкладывается, и этот автоморфизм до автоморфизма $G$ не продолжается.

А эта группа G обязана быть конечной? Или же может быть так, что конкретный пример того, когда автоморфизм не продолжается, возможен только для вложения в группу бесконечного порядка?

[mihaild]

B@R5uk в сообщении #1671681 писал(а):

А эта группа G обязана быть конечной?

В той теореме - не обязана. Там собственно для любой группы $H$ строится полная (с тривиальным центром и не имеющая внешних автоморфизмов) группа $G$, в которой есть малнормальная (такая что если $gHg^{-1} \cap H \neq \{e\}$, то $g \in H$ - противоположность нормальной, когда это пересечение всегда равно $H$) подгруппа, изоморфная $H$. И их конструкция вроде бы всегда выдает бесконечную $G$.