Косинус суммы и разности

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1671384 писал(а):

"Тригнометрия", как раздел, где учат тригнометрческие тождества и решают кучу задач по ним - это первая четверть 9-го класса.

Мне учебник живьем предъявить или вы найдете?
Пока ту редакцию Макарычева не издали, была книжечка-дополнение к учебнику по алгебре - по тригонометрии. Но это был материал 8 класса. Я это помню хорошо, поскольку приходилось примерно в то время сдавать программу восьмого досрочно.

Если не поверите и не найдете - предъявлю, сейчас несколько не до того.

[EUgeneUS]

Combat Zone
Я Вам, конечно, верю.
Но речь
а) про середину 80-х. 1986год, если быть точным. А книга 1988-го, как Вы пишите.
б) про конкретную школу. Допускаю, что там был сдвиг по программе, но это вряд ли. Программу 8-го класса должны были бы пройти.
в) также допускаю, что формулы косинуса суммы/разности давали, и до "тригнометрии" в 9-м классе. Синусы и косинусы сами по себе гораздо раньше же давались.

[worm2]

Как раз примерно в то время была реформа образования, переходили с 10-летнего на 11-летнее полное среднее образование.
Мы, например, доучивались по старой 10-летней программе, но последний класс был 11-й (перескакивали из пятого класса в седьмой).
Где началась тригонометрия я, конечно же, не помню.

[drzewo]

Padawan в сообщении #1671052 писал(а):

А вот в теме про векторное произведение задумался, как выводится формула в координатах, там тоже самое сложное доказать свойство $[\boldsymbol u+\boldsymbol v,\boldsymbol w]=[\boldsymbol u,\boldsymbol w]+[\boldsymbol v,\boldsymbol w]$

До векторного произведения ввести смешанное произведение, и проверить полилинейность для него. Для этого вывести формулу $(\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w)=S_{\boldsymbol u,\boldsymbol v}\cdot{(\boldsymbol n,\boldsymbol w),$ где тройка $\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol n$ -- положительно ориентирована, $\boldsymbol n\perp\mathrm{span}\,\{\boldsymbol u,\boldsymbol v\},\quad |\boldsymbol n|=1$
$S_{\boldsymbol u,\boldsymbol v}$ -- площадь параллелограмма

[Combat Zone]

EUgeneUS в сообщении #1671391 писал(а):

а) про середину 80-х. 1986год, если быть точным. А книга 1988-го, как Вы пишите.

https://www.mathedu.ru/text/makarychev_ ... s_1986/p3/

[warlock66613]

Странно, что никто не вспомнил классическую картинку от мэтра.

[drzewo]

(Оффтоп)

Для меня более интересен вопрос как спустить на уровень бытового физического понимания абстрактные математические конструкции.
Допустим мы понимаем, что наше пространство это $\mathbb{R}^3$ и умеем считать длины отрезков и понимаем, что такое прямые углы. Этого достаточно для того что бы из многообразия скалярных произведений выделить одно единственное.
Когда мы зафиксировали скалярное произведение, мы можем из многообразия кососимметрических трилинейных форм выделить две: те, которые на любом ортонормированном базисе $\boldsymbol e_1\boldsymbol e_2\boldsymbol e_3$ дают либо $(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3)=1$ либо $(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3)=-1.$ Потом оставить только одну из этих форм (этот бинарный произвол уже неизбежен) и базисы со свойством $(\boldsymbol e_1,\boldsymbol e_2,\boldsymbol e_3)=1$ назвать положительно ориентированными.
Тогда векторное произведение однозначно определится из условия:

$$([\boldsymbol u,\boldsymbol v],\boldsymbol w)=(\boldsymbol u,\boldsymbol v,\boldsymbol w),\quad \forall \boldsymbol w$$

Теперь мы можем считать площади и объемы простых фигур.

Имея скалярное произведение, мы можем объяснить, что такое окружность и длина кривой, в частности длина дуги единичной окружности.
К синусам и косинусам предлагается относиться как к спецфункциям и определять их через экспоненту и получить оттуда сразу все тригонометрические формулы. Как быстро спустить это на уровень окружности и радианной меры угла -- я уже где-то тут оставлял ссылку на одностраничный pdf.